浅议在“利用均值不等式求最值问题”时的变形
2013-07-29肖千里
肖千里
摘 要：利用均值不等式可以求解函数最值问题。有些题目可以观察出能直接运用公式求解，但是有些题目必须通过必要的变形才能利用均值不等式求解。此外，还得要注意均值不等式的重要条件：一正二定三等。
关键词：均值不等式；最值；变形
利用均值不等式 ≥ （a>0，b>0，当且仅当a=b时等号成立）求最值问题是高中数学的重要内容之一。它不仅要考查学生的逻辑思维能力，还要考查学生的运算能力，加之它运用的广泛性，如在解析几何中求有关的最值问题就可以将其转化为“用均值不等式求最值问题”。如：题“经过点P（1，4）的直线l在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线l的方程为
________”本题就是利用直线方程形式，把本问题转化为“若 + =1（a>0，b>0），则a、b取何值时a+b有最小值？”来解决即可。由此可见，“利用均值不等式求最值”也将成为高考运用的热点。
“利用均值不等式求最值问题”主要的解答途径是：
一、观察所求函数式是否具有“和、积”的形式；
二、进一步确定是否具备均值不等式的条件“正、定、等”；
三、通过对所求函数式进行变形构造均值不等式的结构形式（“和或积”的形式），再利用其条件进行判断求值。
当然第一个条件尤其重要，我今天在这里要说明的不是第一步，直接能运用均值不等式求解的问题，而是我们不能直接运用均值不等式时，可以通过将解析式变形后且满足均值不等式的条件时的问题。下面我就谈谈“利用均值不等式求最值”时常用的一些变形方法。
一、配凑
（一）凑系数
例1.若0 解析：由0 y=x（6-3x）= [3x·（6-3x）]≤ 2=3 所以，当且仅当3x=6-3x，即x=1时取等号。y=x（6-3x）的最大值为3。 点评：当然，本题从解析式可知它是二次函数，也可以用二次函数求最值来解决，其条件也是非常重要的。 例2.若正数x，y满足2x+y=8，求xy的最大值。 解析：由x>0，y>0，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，已知2x+y=8即和为定值，但不直接是变量x和y的形式，故只需将目标式xy凑上一个系数后变形即可。 即，xy= ·2x·y≤ 2= ·16=8 點评：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可以利用均值不等式求最大值。 （二）凑项 例3.已知x< ，求函数f（x）=2x-1+ 的最大值。 解析：由题意知2x-5<0，首先要调整符号，又（2x-1）· 不是定值，故对2x-1进行凑项才能得到定值。 ∵x< ，5-2x>0 ∴f（x）=2x-1+ =-（5-2x+ ）+6≤-2 +6=-2+6=4 当且仅当5-2x= ，即x=2时等号成立。 点评：本题既要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。分式求最值，通常化成y=Ag（x）+ +C，（A>0，B>0），g（x）恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。 例4.当x>3时，求 的最小值。 解析：本题看似无法运用均值不等式，其实只需将分子配方凑出含有（x-3）的项，再将含（x-3）的项分离。 = =2（x-3）+ +12≥2 +12=24 ∴当2（x-3）= 时，即x=6时，有最小值24。 例4推广：当x>3时，求f（x）= 的最大值。 解析：本题和上例一样，只是直接不好变形，可设g（x）= ，由上例可知：当x=6时，g（x）有最小值24，而f（x）= 在定义上是减函数。所以，当x=6时，f（x）有最大值 。 点评：本题是典型的分式求最值（或求值域）的问题，且这种分式结构均能用多项式的除法，分离其整式部分后，再如例3配凑项化成y=Ag（x）+ +C（A>0，B>0），g（x）恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。当不能分离整式项时（这时分子的最高项次数小于分母最高项次数），可先求其倒数的最值，再求所求式子的最值。 二、整体代换 例5.已知x>0，y>0，2x+y=1求 + 的最小值。 解析：不妨将 + 乘以1，而1用2x+y代换。 （ + ）·1=（ + ）·（2x+y）=2+ + +1=3+ + ≥3+2 =3+2 当且仅当 = 时取等号，由 = 2x+y=1得y= -1 x=1- ∴当y= -1 x=1- 时， + 的最小值为3+2 。 点评：本题巧妙运用“1”的代换，得到 + =3+ + ，而 与 的积为定值，即可用均值不等式求得 + 的最小值。 当然，“代换”也是“换元法”之说，在求函数的最值、值域等相关问题时常用到，特别是在一些与解析几何相关的问题当中用得到，与这里的“整体代换”是将特别的“1”用“式”进行代换，它们有异曲同工之用处。 三、消元 例6.已知x>0，y>0，2x+y=1求 + 的最小值。 解析：由2x+y=1得y=1-2x ∴ + = 又∵ = =2（x-1）+ +3 由2x+y=1可知x<1 ∴ =2（x-1）+ +3≤-2 +3=3-2 ∴ + = ≥ =3+2 点评：此类问题可由已知条件消元代入拼凑成y=ax+ （a>0，b>0）求最值。当然，这类变形相对来说比较复杂，但它的实用性是比较强的。比较此题和例5，方法上看，例5要简单，例6要复杂，但对于大多数学生来说有一定的难度。如：把本题条件“x>0，y>0，2x+y=1，”变为“x>0，y>0，2x+y=2”就难以想到用“1”进行“整体代换”了，那这时采用“消元法”相对来说是可以行得通的。当然，若真融会贯通当然是可以解决的，只需把“x>0，y>0，2x+y=2”转化为“x>0，y>0，x+ =1”来解决问题。 再如以上的例2，“若正数x，y满足2x+y=8，求xy的最大值”也可用此“消元法”来解。 解析：由2x+y=8得y=8-2x xy=x（8-2x）=-2（x-2）2+8 因为x>0，所以xy在x=2时有最大值8。 总之，我们利用均值不等式求最值时，大家都注意到它满足的三点：（1）“正”即两项必须都是正数；（2）“定”即求两项和的最小值，它们的积应为定值；求两项积的最大值，它们的和应为定值；（3）“等”即用均值不等式求最值时，一定要使和（或积）的各项相等且等号成立的条件必须存在。但是我们的问题并不是能直接运用得上“均值不等式”，它都需要我们进行分析后才能考虑在什么情况下能用，所以我们在解决此类问题时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用均值不等式。因此，我们要想掌握好学习数学的方法，只要多加观察、灵活变通，我们就能做到“事半功倍”。 （作者单位 甘肃省甘南州合作藏族中学）
