圆锥曲线“准点”性质的应用

胡世雄

摘 要：圆锥曲线是高考必考的内容，其中圆锥曲线的性质更是考试的热点。就圆锥曲线中的焦点、顶点、准点来说明曲线中的特殊点是中学考试和研究的重点和热点。由于它们容纳了圆锥曲线的基本属性，因而也倍受高考命题者的青睐和关注。从高考圆锥曲线试题来看，涉及这方面内容的考题不胜枚举，圆锥曲线中的“三点”有着深厚的文化底蕴和广泛的知识背景，但是中学教材只有圆锥曲线的焦点、顶点的定义，下面就此来研究一下圆锥曲线“准点”性质在解决一些圆锥曲线问题中的应用。

关键词：准点；准焦三角形；横向型圆锥曲线；应用

一、相关的定义及性质

定义1：圆锥曲线的准线与对称轴的交点叫准点。

定义2：过圆锥曲线的准点作一直线与圆锥曲线交于两点，这两点与其准点相对应的焦点所组成的三角形叫准焦三角形。

定义3：焦点在横轴上的圆锥曲线叫横向型圆锥曲线。

通过探究我们很快发现横向型圆锥曲线的准点具有如下性质：

定理1：已知l是经过横向型圆锥曲线的准点E（m，0）所作的斜率为k或倾斜角为θ的直线，且直线l与圆锥曲线交于A，B两点，F（n，0）是与准点E相对应的焦点，焦准距为p，离心率为e（m，n≠0），则：

（1）AB= = （e2≥k2或e2≥tan2θ）；

（2）若（ ， ）=β则当k

上时取负）；

（3）S△ABF= ；

（4） · = ；

（5） · = .

证明过程详见文

由定理中（1）、（2）又可以分别得到如下推论：

推论1：若E是离心率为e的横向型圆锥曲线Γ的准点，经过E作斜率为k的直线l，则：

（1）l与Γ相离的充分必要条件是e2

（2）l与Γ相切的充分必要条件是e2=k2；

（3）l与Γ相交的充分必要条件是e2>k2.

推论2：设F是离心率为e的横向型圆锥曲线Γ的焦点，E是与焦点F相对应的准点，经过E点作斜率为k的直线与圆锥曲线交于A，B两点，则 · =0的充分必要条件是e2=2k2.

通过进一步研究发现，过准点的直线与过对应焦点的直线斜率存在如下关系：

定理2：经过离心率为e的横向型圆锥曲线准点E的直线与圆锥曲线的一个交点是Q，F是与准点E相对应的焦点，若直线QE的斜率为k1（或倾斜角为θ1），直线QF的斜率为k2（或倾斜角为θ2），则 - =1或tan2θ1·csc2θ2=e2.

证明：可设QE的方程为y=k1（x-m），直线QF的方程为y=k2（x-n），将两个方程联立得点Q的横坐标为 .

代入（1+k2-e2）x2+（2me2-2n-2mk2）x+m2k2+n2-m2e2=0中并化简：

e2k22（m-n）2-k12（m-n）2=k12k22（m-n）2，e2k22-k12=k12k22.

两边同时除以k12k22得：

- =1或e2cot2θ1-cot2θ2=1？圯e2cot2θ1=csc2θ2？圯tan2θ1·csc2θ2=e2.

又当 · =0时，kQF=- ？圳k2=- ，因而 -k12=1？圯k14+k12=e2.

由此，又可以得到如下推论：

推论3：经过离心率为e的横向型圆锥曲线准点E的直线与圆锥曲线的一个交点是Q，F是与准点E相对应的焦点，若直线QE的斜率为k， · =0，则k4+k2=e2.

又因为kQF=- 所以我们又可得到：

推论4：经过离心率为e的横向型圆锥曲线准点E的直线与圆锥曲线的一个交点是Q，F是与准点E相对应的焦点，若直线

QF的斜率为k， · =0，则 + =e2.

由于圆锥曲线的“三点”蕴含着丰富的性质，因而其应用就相当广泛，为此下面就举几个例子.

二、性质的应用

例1.经过双曲线 -y2=1的左准点E，作双曲线的切线L，求直线L的方程.

解：∵a= ，b=1，c=2，e= ， = ，∴左准点E（- ，0），由推论1得直线L的斜率k=±e=± ，故所求切线L的方程为y=± （x+ ）.

例2.经过椭圆= + =1（a>b>0）的左准点，作斜率为 的直线与椭圆相交于A，B两点，F是在椭圆的左焦点，若（ ， ）=60°且椭圆过点A（3， ），求椭圆的方程.

解：由题易知： + =1，再由定理1中cosβ= 可得：cos60°= ？圯e2=

∴c2= a2，b2= a2代入 + =1中得：a2=18，b2=10

所以所求椭圆方程为 + =1.

例3.E是双曲线 - =1的左准点，F是左焦点，P是双曲线上的一点，若直线PF的斜率为 ，求直线PE的方程.

解：由题知：a=2，b= ，c=3，e= ，由定理2得 -

=1，解得kPE=± ，而E（ ，0），所以直线PE的方程为y=± （x- ）.

例4.已知椭圆 + =1（a>b>0）的两个焦点分别为F1（-c，0）和F2（c，0）（c>0），过点E（ ，0）的直线与椭圆相交与A，B两点，且F1A∥F2B，F1A=2F2B.

（1）求椭圆的离心率；（2）求直线AB的斜率；

（3）设点C与点A关于坐标原点对称，直线F2B上有一点

H（m，n）（m≠0）在△AF1C的外接圆上，求 的值.

解：（1）由F1A∥F2B且F1A=2F2B，得 = =

，从而 = ，故离心率e= = .

（2）由（1）知a2=3c2，b2=2c2，e2= ，∴准点E（3c，0），所以椭圆的方程可写为2x2+3y2=6c2，再由推论1可知：直线AB与椭圆相交的充分必要条件是e2>k2，∴-

设直线AB的方程为y=k（x-3c），由已知设A（x1，y1），B（x2，y2），則它们的坐标满足方程组y=k（x-3c）

2x2+3y2=6c2，消去y整理，得（2+3k2）x2-18k2cx+27k2c2-6c2=0.

而x1+x2= ①

x1x2= ②

由题设知，点B为线段AE的中点，所以

x1+3c=2x2 ③

联立①③解得：

x1= ，x2= ，将x1，x2代入②中，解得k=± 满足题意.

（3）略.

评注：在此基础上可根据定理1，求出△ABF1的面积和线段AB的长等。

以上就是与圆锥曲线准点有关的几个性质及其应用.实际上圆锥曲线奥妙无穷，他有着丰富的性质，只要认真去研究，总会得出一些“蹊跷”，因而我们要在不断的探索中去发现、去认识圆锥曲线。

以上的性质和推论还可以用参数方程或极坐标方程来探究，有兴趣的读者不妨试一试。

参考文献：

[1]玉邴图.圆锥曲线“准点弦”的几个性质.数学通报，2006（3）.

[2]郭旭炯.圆锥曲线的焦点、准点性质初探.中学数学研究，2009（1）.

（作者单位 江西省赣州市定南县定南中学）