改进的最适高斯近似概率假设密度滤波

2013-07-27欧阳成陈晓旭

雷达学报 2013年2期

欧阳成* 陈晓旭华云

改进的最适高斯近似概率假设密度滤波

欧阳成陈晓旭华云

(电子信息控制重点实验室成都 610036)

最适高斯近似概率假设密度滤波是一种新颖的多机动目标跟踪算法。然而，该算法存在模型概率先验固化问题，即在计算模型概率的过程中量测信息不起作用。针对以上问题，该文提出一种改进算法，通过引入模型概率更新过程，将后验量测信息加入模型概率的计算式中，根据似然函数在多个运动模型之间进行软切换，进而实现对多个机动目标的有效跟踪。实验结果表明，改进算法能够有效解决模型概率先验固化问题，在目标数估计和滤波精度方面均优于传统算法，具有良好的工程应用前景。

随机集；概率假设密度滤波；最适高斯近似；机动目标跟踪

1 引言

在机动目标跟踪领域，交互式多模型(Interacting Multiple Model, IMM)算法被认为是迄今为止最有效的算法之一，它通过模型转移概率在多个模型之间进行软切换，可以在计算精度和计算开销上获得比较好的折中。杂波环境中，为了跟踪多个机动目标，常用的方法是将IMM分别与联合概率数据关联(Joint Probabilistic Data Association, JPDA)、多假设跟踪(Multiple Hypothesis Tracking, MHT)等算法相结合，构成IMM-JPDA, IMM-MHT等算法。然而，由于需要计算所有关联事件的概率，这些算法的复杂度随目标或虚警个数的增加呈指数增长，难以应用于工程。

近几年，由于随机集理论的兴起，与其相关的多目标跟踪算法越来越多, 其中最具影响力的是Mahler提出的概率假设密度(Probability Hypothesis Density, PHD)滤波，及其改进算法。该滤波算法将复杂的多目标状态空间的运算转换为单目标状态空间内的运算，有效避免了多目标跟踪中复杂的数据关联问题。目前已有的PHD实现方法主要包括粒子PHD和高斯混合PHD两种形式，后者由于避免了粒子采样以及聚类等操作，在运算效率和状态提取方面更具优势。文献[9]和文献[10]分别将多模型的思想引入粒子PHD和高斯混合PHD中，以解决多机动目标跟踪问题。然而，传统的多模型PHD滤波并不包含输入交互过程，正如文献[10]所述，如何将IMM算法引入PHD滤波中是一个颇具挑战的问题。最近，文献[11]通过采用粒子拟合目标状态的模型条件PHD强度，在粒子PHD框架下成功实现了模型输入交互。相应地，文献[12]通过采用最适高斯近似(the Best-Fitting Gaussian, BFG)法对IMM预测性能进行估计，成功将输入交互过程引入高斯混合PHD滤波中。然而，研究发现该算法存在模型概率先验固化问题，即在计算模型概率的过程中量测信息不起作用。针对以上问题，本文提出一种改进算法，通过引入模型概率更新过程，充分利用后验信息改善滤波性能。实验结果表明，改进算法能够有效解决模型概率先验固化问题，性能优于传统的BFG-PHD滤波，具有良好的工程应用前景。

2 随机有限集及PHD滤波

在多目标跟踪中，多目标状态和量测均可用随机有限集(Random Finite Sets, RFS)表示，即=为目标状态集，为量测集，其中和分别是和上的所有有限子集的集合，和分别表示时刻的目标数和量测数。

(6)

3 最适高斯近似PHD滤波

最适高斯近似(BFG)法是一种跳转马尔可夫线性系统(Jump Markov Linear Systems, JMLS)下的IMM性能估计方法，其基本思路是将动态模型中的状态转移方程和过程噪声协方差矩阵用一个BFG分布进行近似，从而使目标在两种模式下的预测状态具有相同的均值和方差。文献[12]将该算法引入PHD滤波中，实现对多个机动目标的有效跟踪。

考虑如下JMLS模型：

BFG近似即是将式(8)用一个BFG分布进行替换

若将式(8)所示的JMLS表示为事件，式(9)所示的BFG分布表示为事件，则算法的关键在于寻找合适的和，使得下式成立

(11)

由全概率公式可知

事件条件下的目标状态期望为

对比式(12)和式(13)可知

(14)

另一方面，事件条件下的目标状态协方差矩阵为

其中，

另一方面，由式(9)和式(15)可知，

(20)

(22)

此后的PHD预测更新过程与传统的单模型PHD滤波完全一致，不同之处仅在于状态转移矩阵和过程噪声协方差矩阵需分别用BFG近似的和进行替换，简单起见，本文不再赘述。

4 改进算法

文献[13]提出BFG算法的初衷是为了计算JMLS的克拉美罗下界(Posterior Cramer-Rao Lower Bound, PCRLB)。对于单模型线性系统而言，可直接对其Fisher信息矩阵(FIM)求逆

(24)

由于PCRLB给出的是估计性能下界，不需要计算具体的似然函数，因此BFG算法中的模型概率计算公式中只包含预测过程，而缺乏更新过程。文献[12]将BFG算法直接应用于PHD滤波中，固然可以解决模型输入交互问题，但在计算模型概率时沿用了BFG中的方法。换句话说，只需给定一个模型概率初值，就可根据式(22)迭代计算出整个跟踪过程的模型概率值，我们称其为模型概率先验固化问题。本节针对该问题提出一种改进算法，通过引入模型概率更新过程，利用后验信息改善滤波性能。

(26)

(28)

(30)

其中，

(33)

则经过量测更新的后验PHD强度为

(35)

其中，

(37)

(38)

(40)

(41)

(43)

其中，

(45)

(46)

由式(33)和式(43)可以看出，改进算法对于模型概率的计算包括预测和更新两个步骤，其中预测过程与BFG算法相同，但更新过程则需要用到每个高斯分量的似然函数，由于后验量测信息的引入，模型概率先验固化问题得以有效解决。

值得注意的是，本文算法与文献[12]中算法一样，都只适用于马尔可夫线性系统。此处的“线性”仅仅是指，状态转移方程需满足线性条件，而对于量测方程则没此限制。因此，对于量测方程非线性的系统，可考虑将算法中的卡尔曼滤波(Kalman Filter, KF)替换为无迹卡尔曼滤波(Unscented Kalman Filter, UKF)或高斯粒子滤波(Gaussian Particle Filter, GPF)等非线性高斯滤波算法，以改善滤波性能。

5 仿真实验与分析

研究2维空间中一定区域内相继出现消失的8个机动目标，真实目标航迹如图1所示。整个观测过程持续60帧，采样周期为。每个目标在时刻的状态用一个4维向量表示，其中，和分别表示目标的位置和速度。采用5个运动模型对目标运动过程进行描述，均满足如下状态转移方程

其中，

5个模型的过程噪声协方差矩阵均为，但转弯角速率各不相同，模型1的转弯角速率为，即匀速直线运动，模型2

传感器位置为坐标原点，量测方程为

其中，

简单起见，不考虑目标衍生过程，新生目标随机集取为目标真实起始位置，采用扩展卡尔曼算法进行滤波。仿真中设置最大高斯分量数为，修剪门限为，合并门限为。检测概率，目标存活概率为。杂波数服从均值为20的泊松分布，在视场内均匀分布。

图2所示为文献[12]算法中目标2的模型概率转移曲线。可以看出，由于原算法中的模型概率先验固化问题，只需给定一个初始模型概率以及马尔可夫跳转矩阵，就可根据式(22)将所有时刻的模型概率迭代计算出来，因此无法根据后验量测信息对模型进行软切换。

图3所示为改进算法中目标2的模型概率转移曲线。可以看出，由于模型概率更新过程的加入，模型概率先验固化问题得以有效解决，因此，改进算法可以在跟踪过程中充分利用后验量测信息，在多个运动模型之间进行软切换。

图2 原算法中目标2的模型概率转移曲线

图4所示为原算法的单次仿真结果。可以看出，由于跟踪过程中无法对模型进行有效切换，当目标发生机动时，跟踪误差较大，且容易丢失目标。

图5所示为改进算法的单次仿真结果。可以看出，由于跟踪过程中能够充分利用后验量测信息，实现多个模型之间的软切换，当目标发生机动时，跟踪误差较小，且不容易丢失目标。

采用文献[14]中的估计与航迹关联算法生成目标航迹，图6和图7分别为原算法和改进算法得到的时间轴跟踪轨迹，同样可以说明问题。

为统计不同算法的平均性能，进行500次蒙特卡洛(Monte Carlo, MC)实验，采用目标数估计均值方差和OSPA脱靶距离对不同算法的性能进行评价，OSPA距离的计算式如下：

图4 原算法的单次仿真结果

图8和图9分别为原算法和改进算法的目标数估计性能。可以看出，原算法的目标丢失现象较为严重，目标数估计性能整体较差，而改进算法的目标数估计更加准确，且方差较小，鲁棒性更强。

图10所示为不同算法的OSPA距离对比。可以看出，改进算法在目标数估计和滤波精度方面均优于文献[12]中算法，具有良好的工程应用价值。

表1所示为不同检测概率下的综合性能对比。可以看出，随着检测概率的降低，两种算法的性能均有所下降，但总体来看，改进算法的OSPA距离更小，目标数估计均值更大，标准差更小，平均跟踪误差更小，表现出更好的综合性能。

图5 改进算法的单次仿真结果

图6 原算法时间轴跟踪轨迹(“·”量测，“——”航迹)

图7 改进算法时间轴跟踪轨迹(“·”量测，“——”航迹)

图8 原算法的目标数估计性能

图9 改进算法的目标数估计性能

Fig. 9 Target number estimation of the improved algorithm

表1不同检测概率下的综合性能对比

Tab. 1 Performance comparison under the conditons of different detection probabilities

6 结论

BFG-PHD滤波是一种新颖的多机动目标跟踪算法，能够在高斯混合PHD框架下实现不同目标的模型输入交互。然而，该算法存在模型概率先验固化问题，限制了其在工程中的应用。针对以上问题，本文提出一种改进算法，通过引入模型概率更新过程，根据后验量测信息对模型概率进行调整，从而能够更好地跟踪多个机动目标。实验结果表明，改进算法能够有效解决模型概率先验固化问题，性能优于传统的BFG-PHD滤波，具有良好的工程应用前景。然而，本文考虑的仿真场景还比较简单，新生目标随机集取为目标真实起始位置，且没有考虑目标衍生过程。接下来，需要在新生目标随机集未知且包含目标衍生过程的环境下，进一步验证算法性能。另外，如何将算法应用到多传感器系统中也是今后需要开展的工作。

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Improved Best-fitting Gaussian Approximation PHD Filter

Ouyang Cheng Chen Xiao-xu Hua Yun

(Science and Technology on Electronic Information Control Laboratory, Chengdu 610036, China)

The best-fitting Gaussian approximation Probability Hypothesis Density (PHD) filter is a novel algorithm for multiple maneuvering target tracking. However, there is a problem that the model probabilities are calculated without the measurement innovation. To solve this problem, an improved algorithm is proposed in this paper, which develops an update procedure for model probabilities to employ the posterior measurement innovation to enhance the filtering performance. Then, the dynamic equations can be softly switched among different models according to the likelihood functions. The simulation results show that the improved algorithm has several advantages over the ordinary one with respect to the target number estimation and filtering accuracy, implying good application prospects.

Random finite sets; Probability Hypothesis Density (PHD) filter; Best-fitting Gaussian approximation; Maneuvering target tracking

TN953

2095-283X(2013)02-0239-08

10.3724/SP.J.1300.2013.13010

欧阳成(1985-)，男，博士后，西安电子科技大学博士毕业，现为中电集团第29研究所博士后。研究方向为目标检测与跟踪、多传感器信息融合。E-mail: ouoyc@yahoo.com.cn