一种基于迭代最小二乘法的精确同步方法

李明阳 柏 鹏 王徐华 彭卫东 卢 虎 林晋福

①(空军工程大学综合电子信息与电子对抗技术研究中心 西安 710051)

②(空军工程大学理学院 西安 710051)

1 引言

精确同步技术在宽带高速数据链、卫星通信中的具有重要价值，伪随机(Pseudo Noise, PN)序列因其具有良好的相关性和优良的抗噪声能力而被用于通信系统的同步过程中[1]。目前对于同步研究的重点主要放在协同通信[2]，多输入多输出(Multiple Input Multiple Output, MIMO)[3]系统，正交频分复用(Orthogonal Frequency Division Multiplexing,OFDM)[4]等系统中，这些方法都利用通信系统的特殊结构，不具有通用意义且只能实现粗同步。PN序列的相位测量精度是影响同步性能的根本因素，因此很多文献针对PN序列的相位测量进行研究[5-8]。文献[5]对伪码相关函数在低信噪比、大多普勒频移情况下主瓣展宽、峰值移位等现象，推导出相应的伪码相关函数。文献[6]用两点线性内插法对相关值的最高峰和次高峰进行处理，但该方法测量精度最大只能提高两倍。文献[7]在分析了频偏对同步性能的影响，分析能够忽略频偏影响的PN序列最大长度，并提出了通过分段相关的方法来提高系统的抗频偏能力，但是该方法没有考虑如何提高同步精度。文献[8]利用相关函数峰值附近3个数据拟合二次插值多项式，根据此多项式将极大值点确定为同步位置，这种方法能在一定程度上提高测量精度但是该方法在存在频率偏移时性能急剧恶化[7]。文献[9]利用新的自相关函数实现了衰落信道下的定时同步，但是该方法在性能最优时只能精确到一个样点。文献[10]定量分析了任意通道非理想特性对于伪码同步精度的影响，该研究对于实现精确同步方法具有一定指导意义，但是文中没有提出消除这些影响的方法。文献[11]根据贝叶斯递推原理提出了一种衰减记忆高斯和滤波的同步方法，利用重采样解决由于载波相位测量值不确定导致的算法复杂度增加的问题，但该方法无法显著提高测量精度。文献[12]提出了利用延迟锁相环的S型鉴相曲线中间部分的直线特性，采用最小二乘法(Least Squares, LS)得到初始相位，该方法实现简单，精度高，但是在初始相位较大时该方法失效。本文仿真表明当初始相位超过± 1/3个码片长度时该方法测量误差已经超过一个采样点无法满足精确同步的要求。

本文提出一种能够有效对抗粗同步误差和频率偏移的基于迭代最小二乘法的精同步方法。文章首先分析了粗同步误差在正负半个码片范围内时 LS算法的测量性能，表明在此范围内测量误差有下降趋势，据此提出了基于迭代最小二乘的测量方法，同时引入分段相关方法以消除频偏影响；然后从分段相关以及最小二乘法等方面分析了该方法的抗噪性；最后通过仿真证明了本文方法在较大粗同步误差以及低信噪比和频率偏移的条件下能够获得较高的同步精度。

2 最小二乘同步方法

文献[12]提出LS算法估计本地PN和接收PN的相位差的方法，其思想是利用拟合直线的方法化离散为连续，从而实现同步相位差在误差平方和最小准则下的最优估计，该方法能够获得分数倍采样周期的测量精度。理想条件下PN序列相关曲线和鉴相曲线如图1所示，其中τ为码元周期的相对值。

图1 理想条件下的PN序列相关曲线和鉴相曲线

图1中鉴相曲线横坐标的0点就是需要估计的实际同步相位。假设在一个码片范围内对接收 PN序列进行Ns点采样，利用本地PN码分别左右移位n＜Ns个采样点构成超前滞后相关器，只要本地移位后的PN序列和输入PN序列相位差不超过 ±Tc/2，则这些超前滞后相关器输出值构成图1的相关曲线和鉴相曲线。在存在高斯白噪声条件下利用最小二乘法将鉴相曲线-Tc/2＜τ0＜Tc/2范围内的点拟合成直线，设得到的直线方程为y=bx+a，那么本地和接收的PN序列的相位差[12,13]：

3 分段迭代最小二乘法

文献[12]提出的基于LS算法的精确同步方法对粗同步有较高的要求，在粗同步误差大于Ns-n个样点时，拟合直线的数据部分来自鉴相曲线中间部分以外，该方法不再适用。以粗同步误差向后偏移为例，此时鉴相曲线也相应后移，当偏移τ0＜Tc/2时鉴相曲线如图2所示，其中τ为码元周期的相对值。

如果粗同步误差在一定范围内时采用式(1)方法得到的估计值的绝对值总小于实际误差，那么在此范围内采用迭代的方法不断修正粗同步误差可以最终获得精确值。假设在0＜τ≤Tc/2范围内进行η点采样，即Tc/2=ηTs，且这些点全部用于拟合鉴相曲线，也即n=Ns=2η+1。为简化起见，假设τ0=mTs, 0＜m＜η，此时x和y满足式(2)。

图2 存在同步偏移时的鉴相曲线

其中R(0)=1-1/(2η+1)。

当粗同步误差为0时，理想情况下最小二乘法估计相位也为0。当存在右移移位0＜τ0＜Tc/2时，LS算法表示为式(3)的形式。

其中K=2η(2η+1)(4η+1)/3。

当 0＜i＜m时满足(i-η)(m-i)＜ 0和(m-i)＞0 ，所以式(3)估计的相位满足不等式(4)。

不等式(4)最后一项相当于粗同步误差为0时鉴相曲线直线部分下移bm，相应地，等效于于此直线右移m。所以由式(4)可知在右移半个码片范围内LS算法得到的估计值在零点和实际值之间。同理，当移位-Tc/2＜τ0＜ 0 时，估计值在实际值和零点之间。根据此性质，本文提出采用迭代LS算法的精同步方法，该方法在每次迭代过程中将前次估计值作为新的零点，直到前后两次估计值误差绝对值小于ε时停止迭代，其中ε为设置的误差容忍度。该方法实现流程如表1所示。

根据文献[7]同步序列的长度不大于 2.3311/Δw时相关函数基本不受频偏的影响。因为鉴相曲线由相关函数唯一决定，所以此时鉴相曲线也能很大程度上消除频偏的影响。设发送信号为x(i)=C(i)，码片周期为Tc，码长为M，过采样率为Ns,fs为采样频率，相应的采样周期为Ts，假设载波初始相位为0,n(i)为高斯白噪声，Nc为分的段数，分段相关函数表达式为

表1 迭代最小二乘法同步方法流程

4 抗噪声性能分析

基于迭代 LS算法的精确同步方法对抗噪性能主要取决于两项内容：伪码分段相关取模的抗噪声能力和LS算法的抗噪声能力。噪声主要体现在对原信号期望和方差的影响上，本节将从这两个方面进行具体分析。

4.1 伪码相关抗噪性能

式(5)的互相关函数可以表示为理想互相关函数和噪声项两部分，分别为(iTs)中信号和噪声与本地伪码的相关函数。因为拟合直线利用鉴相曲线零点附近数值，此时R(τ≈0)≈MNs，噪声项服从N(0,MNsδ2)。相关函数的SNR为MNsδ2，可见相关函数将SNR变为原信噪比的MNs倍，所以选择长的伪码可以起到很强的降噪的作用。原最小二乘同步方法，在初始相位较大时，R(τ＞0)＜＜MNs，相关函数将 SNR 变为原信噪比的R(τ)倍，随着初始相位τ的增大这种降噪能力越来越弱。

分段对相关函数分别在τ=0和τ≠0时引入的方差表示为式(6)[7]。

式(6)中两式随Nc增加而增大，随L的增大而减小，所以在满足抗频偏性能要求时需尽可能地加大L。当L和δ2都较大时，式(6)可以近似为两个定值，相当于引入了固定的噪声功率，并且因为L较大所以这两个定值都很小。综上可知，相关函数具有消除噪声影响的能力，分段虽然引入额外误差，但是在L和δ2都较大时其影响相对于高斯噪声的影响较小，对抗噪性能减弱程度不大。

4.2 LS算法抗噪性能

假设xi=i-η,yi=Di+ni，其中Di为鉴相曲线的某个数据，ni为独立同分布的高斯白噪声满足ni～N(0,δ2)，其中δ2为噪声功率。结合式(1)和式(2)得到估计值如式(7)。

综上，本文方法中伪码相关函数和LS算法都有降噪的作用，降噪能力随序列长度M，过采样数Ns和拟合直线的点数n=2η+1的增大而增强，分段引入额外方差，此方差值在L较大时为很小的定值。

5 数值仿真分析

5.1 不同初始相位下迭代误差仿真

选择长度为M=511的PN码，其生成多项式g(x)，设置相对采样频率归一化频偏Δw，初始相位Δτ，容忍度ε，信噪比SNR，如表2所示。

表2 仿真参数

对本文方法收敛速度进行仿真，该方法在 1-7次迭代过程中的误差曲线如图3所示。

图3 迭代收敛曲线

由图3可以看出在初始误差小于4个采样周期的情况下，经过迭代测量误差最终都能收敛到半个采样周期以内，并且迭代5次以后都能够得到收敛。同时可以看出随着初始相位的增大，需要更多的迭代次数才能达到收敛，并且收敛后误差也较大，但是大多数情况下，粗同步能够将定时误差控制在1-2个采样周期内，此时本文方法能够获得很高的测量精度。同时看到可以设置固定的迭代次数，以避免设置不恰当的迭代终止误差容忍度，当达到一定迭代次数后误差都会收敛到较小的范围。

5.2 不同初始相位同步精度仿真

设置参数，设置 PN 码初始相位为0≤Δτ≤5Ts，其他参数同表2，本文方法与文献[6]，文献[8]及文献[12]方法的相对Ts归一化测量误差如表3所示。

由表3可以看出文献[6]和文献[8]同步方法测量性能基本一致，且在初始相位为1个样点时能达到1/2个采样周期的测量精度。在初始相位较小时 4种算法都能获得不错的测量性能，但是随着初始相位的增大，超过2个样点之后前3种算法测量误差急剧增加。文献[12]同步方法当初始相位超过3个样点即1/3个码片长度时测量误差已经超过一个采样点，无法满足精确同步的要求。而本文算法在初始相位为4个样点时依然能够获得分数倍采样周期的定时精度，性能最优。在初始相位超过1/2码片长度时，本文方法有放大误差的作用，这是因为此时最小二乘法估计值朝误差放大的方向，迭代次数越多性能越差。粗同步通常可以将误差控制在正负半个码片范围内，在此范围内本文方法可以获得良好的性能。

表3 不同初始相位测量误差对比

在实现复杂度方面，文献[6]和文献[8]方法需要(3/2)Nslog2Ns+Ns次乘法运算，以及 3Nslog2Ns次加法运算。根据式(1)可知本文方法单次迭代需要3Ns次乘加运算和 1次除法运算，以及迭代终止判决的1次减法运算。可见本文方法在单次运算中只比最小二乘法多1次减法，而总体运算复杂度为单次运算复杂度和迭代次数的乘积，本文方法复杂度显著低于前两种方法，更有利于工程实现。

5.3 不同信噪比同步精度仿真

设置参数，设置 PN码的初始相位为 Δτ=1.5Ts，信噪比SNR=-16～8 dB，其他参数同表2。本文方法与文献[6]，文献[8]以及文献[12]方法在不同信噪比条件下的相对Ts归一化测量误差如表 4所示。

表4 不同信噪比下测量误差对比

设置参数，设置初始相位为0≤Δτ≤5Ts，信噪比SNR=-10 dB，频偏 Δw=1×10-3～4×10-3，其他参数同表2。本文方法的归一化测量误差如表5所示。

由表4可以看出没有频偏时文献[6]和文献[8]同步方法测量误差随信噪比变化不大，文献[12]方法整体性能优于前两种方法，并随SNR增大性能有所提升。本文方法和文献[12]方法测量误差具有相同的趋势，且在高信噪比条件下性能一致，但是在低信噪比条件下本文方法性能更优，可见本文方法具有更强的抗噪声能力。

5.4 不同多普勒频偏同步精度仿真

由表5可以看出频偏几乎不对本文方法测量精度造成影响，这是因为即使归一化频偏Δw=4×10-3，选择的分段长度L=511/4」=128＜2.3311/Δw」=582，满足鉴相曲线函数近似不变的条件。其中，分别表示向上取整和向下取整。

表5 不同Δw和初始相位本文方法的测量误差

6 结束语

本文提出一种基于迭代最小二乘法的抗频偏精确同步方法。该方法对粗同步精度有较低的要求，相对于原最小二乘测量方法具有更宽的适用范围。文章引入分段相关取模抗频偏的策略，在分段长度满足一定条件时，测量性能几乎可以不受频偏的影响。分析和仿真都表明该方法具有很强的抗噪声能力，在低信噪比和较大初始相位条件下依然能获得很高的同步精度。该方法适用于卫星通信和军用通信等工作在低信噪比和大多普勒频移的通信系统中，并且能够很好地满足其对同步精确的需求。

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