巧构正方形妙解数学题

重庆 丁学明

记得数学家华罗庚说过：数缺形时少直观，形缺数时难入微，这就充分说明了数形结合解决问题的重要性。数形结合，是一种重要的解题策略，它形象直观，能化难为易。现举几例构造正方形解题。

图1

图2

这样，长方形长与宽的差就是小正方形的边长，为1。原题就变为：两数和为2，两数差为1，求两数。由和差关系：

大数=（2+1）÷2=1.5

小数=（2 － 1）÷2=0.5。

例3用1～10这十个自然数组成5个乘法算式，并使它们的和为169。

分析与解：5个乘法算式的和为169，可以理解为5个长方形面积的和为169。又因为169=13×13，所以其和169可以看成为边长是13的正方形面积，从而可以构造如图4所示的正方形。不难看出，符合要求的答案是：1×2+3×7+4×6+5×10+8×9。

例4有一个长方形，长是宽的4倍，且对角线的长度是17厘米。求这个长方形的面积。

分析与解：构造如图5所示的正方形。长方形 ABCD 包含4×1个方格。在其内部作出以BD为边长的正方形BDGH。容易求出BDGH的面积为17×17=289（平方厘米）。又因为正方形BDGH内部有9个方格和4个三角形BCD。两个三角形BCD可以拼成4个方格，4个三角形就可以拼成8个方格。因此，正方形BCGH共由9+8=17个方格组成。每个方格的面积是289÷17=17（平方厘米）。而长方形ABCD是由4个方格组成，所以它的面积是17×4=68（平方厘米）。

例5 已知甲数比乙数大2，甲数的平方比乙数的平方大44，求甲、乙两数。

分析与解：构造如图6所示的正方形。甲数表示大正方形的边长，乙数表示小正方形的边长。两个数的平方分别表示两个正方形的面积。从图6中可以看出两个长方形②和一个正方形③的面积为44，这样一个长方形②的面积为（44－2×2）÷2=20，则长方形②的边长为20÷2=10，即乙数是 10，甲数是 10+2=12。