对2013年安徽省中考试卷第23题的试题特色分析及品味

☉江苏省启东市东海中学 顾晓东

我们把由不平行于底边的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为“准等腰梯形”.

一、原题呈现

题目 （2013年安徽卷第23题）如图1，四边形ABCD即为“准等腰梯形”，其中∠B=∠C.

（1）在图1所示的“准等腰梯形”ABCD中，选择合适的一个顶点引一条直线将四边形ABCD分割成一个等腰梯形和一个三角形或分割成一个等腰三角形和一个梯形（画出一种示意图即可）.

（3）在由不平行于BC的直线截△PBC所得的四边形ABCD中，∠BAD与∠ADC的平分线交于点E，若EB=EC，请问当点E在四边形ABCD内部时（即图3所示情形），四边形ABCD是不是“准等腰梯形”，为什么？若点E不在四边形ABCD内部时，情况又将如何？写出你的结论（不必说明理由）.

图1

图2

图3

二、试题特色

本题是一道新定义的开放探究题，题目立意新颖，构造精巧，设问梯度合理，入手较易，通过截等腰三角形的两腰得“准等腰梯形”，把观察、操作、探究、证明融于一体，需要综合运用平行线、等腰三角形、相似三角形、全等三角形、角平分线等核心知识灵活地解决问题，有效考查了学生对核心知识的理解及学生的阅读理解能力、数学建模能力、深入探究能力，综合性较强，有较好的区分度，较高的信度和效度.

1.重视基础，体现能力

本题虽为压轴题，但仍注重对基础知识、基本技能的考查.第（1）问，通过过一点作平行线，考查学生作图的基本技能，并为第（2）问的解决做好心理和知识铺垫；第（2）问考查学生对三角形相似的判定这个核心知识的掌握情况，要解决的问题具体，注重基础性；第（3）问通过改变点E的位置，探索∠ABC与∠DCB的数量关系，使问题更具开放性，富有探究价值.通过添加适当的辅助线，考查学生灵活运用知识的能力.尤其是第（3）问的后一小问，不呈现图形，而让学生根据题意画出图形再写出结论，更体现了本题对学生能力的考查.

2.关注过程，引领教学

本题不仅关注学习的结果，更关注教与学的过程，本题首先定义了一个教材中从未出现的新概念——准等腰梯形，然后围绕准等腰梯形设计了三个问题，各问题层次分明，逐级递进，引导学生不断思考，变考试的过程为学习、研究的过程.学生在解决以上问题的过程中，可以表现出自己的作图、观察、证明、猜想等数学活动方面的能力，有效考查学生的数学素养.从而促使教师在平时的数学教学中重视过程的教学，启发学生及时进行归纳总结和反思，积累解决问题的策略及经验，不断提升数学能力.本题出现的“等腰三角形、准等腰梯形”的基本图形，通过点的位置的变化引起图形相应的变化，从而探索相关线段的数量关系，学生在平时的学习中都经常遇到，在教学中如何让学生更好地理解基本图形的教学功能？如何在平时的教学中立足课标，夯实基础，注重学生对所学知识的理解，体会数学知识之间的联系？这些问题都会促使教师不断地深入研究、思考，改进教学方法，不断提升自己的教学水平等.

3.探究选择，突出思维

基本的数学活动经验告诉我们，当题目的要求与你所用的知识或设想距离较远时，就涉及探究思路、方法的选择问题，对于本题的第（3）问难度较高，探究思路的选择至关重要，不仿可以采用如下探究环节：

环节1：四边形ABCD是否为“准等腰梯形”，取决于什么条件？由BE=BC，可以得∠1=∠2（如图4），若得∠ABC=∠DCB，还需哪两个角相等.

图4

环节2：若要得∠3=∠4，面临选择，尝试发现∠3、∠4不能够直接证明相等，条件不足，必须添加适当的辅助线，由条件AE、DE分别平分∠BAD与∠ADC，想到过点E向角的两边作垂线段，得EF=EH，通过△BEF≌△CEH，得∠3=∠4.

环节3：若点E不在四边形ABCD的内部，根据点与平面图形的位置关系，点E与四边形ABCD还存在怎样的位置关系，相应的图形又会发生怎样的变化呢？

环节4：∠1、∠2、∠3、∠4随着点E位置的改变，大小发生变化，但它们之间的数量关系是否仍然存在呢？刚才的证明思路、方法是否还可行呢？

上述探究环节凸显学生的数学思维水平和数学活动的经验水平，也可实现新的活动经验的结累，本题中基本图形的交融将解题思路隐藏，增大了题目的挑战性，要靠学生的尝试和调整解题策略向前推进.这种看似“山重水复”的情境设置，实则为“柳暗花明”的到来做足了铺垫，学生将会体验到解决问题的妙趣横生.

4.体现公平，尊重差异

本题以学生熟悉的三角形、四边形为背景，通过文字语言的描述，图形语言的说明给出了“准等腰梯形”的概念，问题的调置由易到难，层层推进，环环相扣；第（1）问绝大部分学生都能解决，体现了试题的人文关怀，第（3）问具有开放性，具有很高的区分度，体现了中考试卷的选拔功能.

如果把本题当作一杯茶来品尝的话，那么品味到它的滋味是幽香扑鼻，醇厚爽口，回味无穷，当我们头品此题时，给人以“雾里看花，水中望月”感觉，但细细品味，又“似曾相似”，体现命题者的高超立意，感觉到的是香高；当我们二品此题，理解此题在立意、导向、选拔等功能后，感觉到的是味浓；当我们三品、四品这道“大餐”时，认真体会此题的丰富内涵，去进一步探究、拓展时，感觉到的则是幽香犹存.