“意外惊喜”源于以生为本的方案设计——“多边形内角和”的探索方案片段

☉安徽省蚌埠市新城实验学校 高厚良

2013年4月9日蚌埠新城实验学校与淮北二中进行了一次跨地区的校际交流课，笔者与淮北二中的马太平老师共同执教了沪科版数学八年级下册“多边形内角和”（第1课时），本课时的难点是探索多边形的内角和，为突破这一难点，笔者及本校数学组全体教师认真对文本进行了解读，精心设计了四种预设方案，现将这四种方案、最终方案确定的依据以及笔者对本环节的思考整理成文，以供广大同仁研讨.

一、方案呈现

1.方案1

在学生叙述出三角形、长方形的内角和分别是180°、360°后，向学生提示如下问题：

问题1：是不是任意一个四边形的内角和一定是360°呢？你可以采用什么方法来验证你的猜想？

若学生回答可通过测量时，教师可通过几何画板演示，并指出测量有限个四边形还不足以说明所有的四边形都有同样的结论（一般性），测量存在误差，还需要进行严格的论证，进而引出连接对角线，把四边形分割成两个三角形来确定.

问题2：将一个任意四边形问题转化为三角形问题，还有其他方法吗？你能用算式表示出来吗？

学生经过讨论，最终形成如图1、图2、图3、图4所示的四种分割方案

如图1，过一个顶点作1条对角线，得到2个三角形，内角和为2×180°；

如图2，在四边形内部任取一点，得到4个三角形，内角和为4×180°-360°；

如图3，在四边形边上取一点（该点不与顶点重合，若与顶点重合，转化为第一种情况——连接对角线）得到3个三角形，内角和为3×180°-180°；

如图4，在四边形外部取一点，得到4个三角形，内角和为3×180°-180°.

图1

图2

图3

图4

问题3：你能用以上四种不同方法分别求出五边形、六边形的内角和吗？

问题4：请用不同的方法求出n边形的内角和.

问题5：对于n边形内角和探索出的算式（n-2）·180°；180°n-360°；180°（n-1）-180°，它们之间有什么联系？

2.方案2

问题1：四边形的内角和是多少度？你是怎么想的？

在学生回答出从一个顶点引对角线把四边形分成两个三角形，从而得出内角和为360°后，让学生利用这一方法，完成探究表：

问题2：你还有什么方法可以确定五边形、六边形、…、n边形的内角和呢？

学生分小组讨论确定可以通过在多边形内部、边上、外部取点的方法确定多边形的内角和.

问题3：（n-2）·180°；180°n-360°；180°（n-1）-180°，这三个计算n边形内角和的表达式有什么联系？

3.方案3

问题1：如图9，若连接四边形的一条对角线，你可以确定四边形的内角和吗？为什么？

图9

图10

问题2：如图10，若连接四边形的两条对角线，两条对角线相交于点O，你能利用该图确定四边形的内角和吗？

问题3：若移动点O的位置，O点可能在四边形的什么位置？你能利用相应的图形确定四边形的内角和吗？

问题4：类比四边形的探索方法，你可以用哪些方法来确定五边形的内角和？

问题5：确定五边形的内角和，可不可以把五边形转化成一个四边形和一个三角形呢？

问题6：六边形的内角和又应该如何确定呢？

问题7：根据你的探索，你能完成下面的表格吗？

4.方案4

在学生叙述出三角形、长方形的内角和分别是180°、360°后，向学生提出如下问题：

问题1：是不是任意一个四边形的内角和一定是360°呢？若要用几何推理的方法验证这一猜想，你能有哪些方法？

（学生交流讨论，教师尽可能多地展示学生的方法）

问题2：（在学生众多方法中选取如下四种方法）这几种方法有什么共同点？

图15

图16

图17

图18

问题3：在刚才出示的四种方法中，哪一种方法更为简洁？

问题4：利用过一点连接对角线的方法，你能很快确定五边形、六边形的内角和吗？

问题5：过五边形、六边形的一个顶点引对角线，分割成的三角形个数与它的边数之间有什么关系？

问题6：过n边形的一个顶点可分割成多少个三角形？由此你能得出n边形的内角和吗？

二、方案分析

以上四个方案都本着“有利于学生体验与理解、思考与探索，注重过程与结果”的教育理念，使学生在思考探索中把知识转化为智慧.在探索的过程中都遵循“由特殊到一般”的探索方法，但每种方案又各具特色.

方案1最大亮点就是整个探索过程让学生从不同的角度寻求解决问题的途径，给学生提供展现思维的平台，通过组织测量、类比、推理等数学活动，着重引导学生探索多边形的内角和公式.但这一方案的实施由于时效性较差，五边形、六边形、n边形内角和的探索与四边形内角和的探索有重复之嫌，且八年级下册，学生对几何的学习，应该由以前的实验几何为主转为推理几何为主，再用测量这种方式去验证四边形的内角和，确有不妥，基于以上原因，这一方案最后被否决.

方案2的最大亮点就是能高效、快速地探索多边形的内角和，先以提问的形式向学生暗示可借助三角形的内角和证明四边形的内角和，学生很快便能想到由四边形的一个顶点出发引一条对角线，将其分割成两个三角形，再通过完成表格使学生形成一条完整的思维链.该方案的缺点就是学生失去了一次进行发散思维训练的机会，多边形内角和公式推导出以后，再用不同的方法去探索四边形的内角和，有点本末倒置的味道，此时学生也失去了探索的积极性，基于这个原因，方案2最后也没有被采纳.

方案3的最大亮点是降低了探索的“难度”，通过对角线交点的移动，使学生体会到什么是任意一点，这一点可以在多边形内部、边上、外部，通过这一点把多边形转化为三角形问题来处理，渗透了点与平面图形的位置关系的知识.不足之处是通过点的移动，容易束缚学生的思维，使学生认为四边形问题仅可以转化为以上几种形式，故此方案最终也被否决.

方案4最大的亮点是通过开放式问题，给学生充分思考的空间，让学生的思想真正解放，为了追求课堂的高效，本方案从四边形入手，一方面通过学生讨论，尽可能多地展示学生探索的方法，拓展了学生的发散思维，使学生体会从不同角度解决问题的方法，另一方面又从各种方法中选出最有代表性的四种方法，参透点与平面图形的位置关系，在四种方法中找出最简单的方法，用这种简单的方法去探索五边形、六边形、n边形的内角和，提高了课堂的效率，从而为学生巩固多边形内角和公式提供了时间上的保障.基于以上考虑，最后确定采用方案4.

三、方案启示

课后，笔者认真地对本环节进行了反思，从课后反馈来看，基本上达到了课前的预设，甚至有些“惊喜”，本环节的成功，得益于以下几方面的处理.

1.注重局部探究的有效性

在结论教学中，由于课堂的限时性，且必须完成相应的教学内容，无法花过多的时间，让学生长时间体验探究的过程，因此在进行局部探究时，要根据“探究”素材，在关键点上精心设问，以提高局部探究的时效性.本环节处理的成功，就是把着重点放在了四边形内角和的探索上，虽然学生呈现了众多的方法，但学生的这些思维过程往往是无序的、低层的，甚至是凌乱的，需要老师不断地加以优化，加以提升，笔者正是把众多的方法优化成一种方法，把四边形转化成三角形，学生自然可以类比四边形的探究方法快速地确定出五边形、六边形、n边形的内角和.

2.根据学生的实际情况合理地设置思维深度

设置问题时，一定要考虑学生的实际，当学生总体思维能力很强时，要尽可能设置开放性的问题，调动学生思考的积极性、主动性，最大程度地培养他们思维的广阔性和创造性.如方案4中直接提出你有哪些几何推理的方法来验证四边形的内角和是360°，一方面提醒学生从推理几何的角度去验证，起点高，另一方面又没有任何梯度的设置，为训练学生的发散思维提供了良机.而方案3由于起点低，重过程、重归纳，对于总体成绩不好、思维能力一般的班级是个不错的选择.

3.相信孩子的能力，孩子会给你惊喜

对于方案4中的开放性问题，在预设时，由于是公开课，开始时担心孩子会紧张，问题抛出后，会不会出现启而不发的现象，会不会连最起码的点在四边形内部、边上、外部这几种情况都没有探索出来呢？事实证明，孩子的潜力是无穷的，问题抛出后，学生积极思考、讨论热烈，一个个“惊喜”层出不穷，不光出现了课前笔者预设的各种分割方法，还出现了很多意想不到的方法，现从中选取四种典型方法予以展示.

图19

图20

图21

由于本环节的成功，课后点评时，众多老师肯定了笔者对本环节的处理，特级教师邱广东也对本环节给予了很高的评价：“高老师这节课让我看到了在一些公开课、优质课中久违的学生原生态的思维过程，可以说这是一种惊讶、惊喜，为什么在一些公开课中就看不到学生通过延长四边形的两边构造三角形这种情况呢？在高老师这节课中不但出现了，而且还出现了这么多‘意外’，这些‘意外’的出现应该是高老师对于本环节高明处理的必然结果.”是呀，这种“意外”是我们一线教师孜孜不倦的追求，而“意外”的创造者是学生，只有他们的积极性提高了，思维打开了，他们才能在不经意间给你一个又一个的“惊喜”，本环节的成功不就是源于以生为本的方案吗？如果我们在进行教学时，能时刻注意到这一点，这种“意外”可能就不是意外了.