数学实验教学中的“技”与“道”——由一则观摩课引发的教学思考

☉江苏省南京市河西中学 郭 锋

笔者近日观摩了一节验证型数学实验研讨课，实验主题是“二次函数的图像与一元二次方程的近似根”．执教者是一位年轻的教师，数学实验也是一项较新的课题，尚在摸索的路上，能让学生真正“动”起来、课堂切实“活”起来，让无声的思考和有声的说题始终穿行于课堂，实属不易、饱含艰辛，应该得到一定层面的认同与赞可．但若能关注和关照数学实验教学中的“技”与“道”，方能让课堂充满地气，成就灵气，学生也才能体验到数学实验原本应有的归属感（数学思想方法）．

本文是笔者全程观摩并践行课堂后的几点思考，供同行交流研讨．

数学实验指为探究数学知识、发现数学结论或假设而进行的某种操作、试验或思维活动，是探索性学习和教学的形式．它的本质是具有可操作性、探究性和创造性，张扬个性化的求异精神；其经典内涵是缓慢的过程性、参与的高指数、感悟的多元化以及知识经验的再生性和生态兴趣的持续性．

本次数学实验的出发点是为解决正统课堂无法有效生成的知识而采取的补救措施，它的落脚点是发展学生的思维内力和生命的张力．抽象的数学思想方法无法用言语传递，尤其是“逼近的思想方法”更让“说教”无能为力．在学习“二次函数的图像与一元二次方程的近似根”时，采用传统的讲授法，学生获得的知识只能停留在计算的技术层面，无法将“技”转化为“道”（思想方法）；借助数学实验的手段，能让无形的思想方法实体化，能让学生的思维超越“技”的层面，渐次到达“道”的境界．但在实验的过程中，必须滴灌思想方法、张扬大道至简、突破边界思维，这样才能揭示实验的本质，回归实验的理性，复归实验的知性，实现知识经验的正向累积，提升思维的能见度，达成数学实验的本质初衷．

一、滴灌思想方法：数学实验课的本质揭示

案例1 借助函数y=2x2-1的图像，试写出方程2x2-1=0的一个近似根（精确到0.1），并说明理由.

完成表格1.

表1

由表格1可知方程一个近似根x的大致范围是_____.完成表格2.

表2

由表格2可知方程这个近似根x的精确范围是_____；近似根是______；写出另一个近似根是______，理由是______.

执教者设计了问题的具体指向，目的是照顾学生的差异性，让每一个学生都有能力参与，都能获得或多或少的生命体悟.但让所有的学生就题论题（填填表格、算算数据、写写答案），学生的思维不能获得应有的实质性的锻炼，仅停留在低级的“技术”（计算）层面，无法触及数学实验追求的“道”（思想方法）的境界，和传统的说教殊途同归，丧失了数学实验的原始意义.执教者若能站在思想方法的平台上，关照学生的层次性，多角度审视问题，因“材”支教和因“才”施教，则能让每个学生在原有的基础上获得原本应有的发展.

在具体实验的过程中，执教者借助几何画板呈现了完满的二次函数的图像（没有根据差异性作出适当的技术处理），引导学生观察图像上函数值为0的点的位置特征（恰在x轴上），以及函数值y=0时，附近的点的函数值的特征（一侧的函数值大于0，另一侧的函数值小于0），整理二次函数的图像与一元二次方程近似根的关系（表示根的点的两侧函数值的乘积小于0）.然后让学生借助算理，给出表格数据，让学生代表分析数据，阐释思考路径，给出问题答案（一个近似根的大致范围是0.7＜x＜0.8，精确范围是0.70＜x＜0.71，近似根是x≈0.7；大部分同学利用图像的对称性写出另一个近似根是x≈-0.7，一小部分同学在范例的引领下，借助表格再操作获取另一个近似根）.这样的处理流程，不经意间限制了学生思维的发展，整齐划一的计算操作，让学生的思维局限于计算的技术层面，偏离了数学实验的本质（体悟逼近思想）.

其实，执教者若能灵活变换问题，让学生在多层面研习问题，则能让学生各得其所，收获不同层面的发展.课前应依据“思维现实”将学生分为三档（在心中）；实验载体可以从三个层面呈现（除原生态的呈现外，可以隐去坐标轴上的坐标和表格中的数据），这样既关照了学生的层次性，又能让学生学有所得、学有必得、学有优得，还能跨越数学实验的低端“技”（计算）达到实验的高端“道”（数学思想方法）.可以让学困生就题论题，习得基本的计算技术，获得“我也能做”的惊喜.就中档生而言，可以隐去坐标轴上的坐标，让学生在表格的引领下，在图像的半参与下，解释“表格中的端点数据是怎么来的”，这样就能引动学生的估算思想，采用滴灌的方法（慢慢渗透），加宽学生的思考时空，让思想方法站在计算的“肩膀上”缓慢生长.针对学优生而言，既要隐去坐标轴上的坐标，还要隐去表格中的数据，让学生在估算思想和二分法的帮助下，尝试确定端点数；在精确度的要求下，再渐次细化端点数，让逼近思想催生方程的近似根.在滴灌逼近思想方法的过程中，让学生的思考从无序逐步走向有序，在思维内层衍生近似根范围的必然性和合理性.最后要借助几何画板动态演示函数值y=0时，附近的点的函数值的特征，让学生在切身操作中感受“两边逼迫法”的内在要义和实践价值，从而让实验中的“技”提升为理解的“道”，这才是本次实验的真正初衷.因此，唯有滴灌思想方法，方能揭示数学实验课的内在本质.

二、张扬大道至简：数学实验课的理性回归

案例2 根据函数y=x2+2x-5的图像（隐去坐标轴上的坐标），求出方程x2+2x-5=0的一个近似根（精确到0.1）.

（1）观察图像并借助几何画板，完成表格3.

表3

（2）结论：___________________________________.

（3）猜想方程x2+2x-5=0的另一个近似根并说明理由.

实验结论及分析：____________________________.

在运作的过程中，执教者让学生在观察图像的基础上，借助几何画板填写表格.源于学生经历案例1的打磨，累积了实战经验，容易找到确定近似根的实验路径，操作起来不像开始时那样茫然无措，脸上写满了自信的表情，思维也很快找到了实验的话题.孩子们大致采用以下几种做法.

由于苗族聚居区的聚居特征以及其位置、传统文化的影响，苗族银饰锻造技艺的传承习惯是传男不传女，传内不传外。且因历经多年的发展以及其比较重，价格较贵等各种因素的影响，选择整套、具有苗族特征银饰的顾客越来越少，苗族银饰的盈利性并不明显。在这种情况下，很多年轻人选择外出务工，因此现今懂得苗族银饰锻造技艺的人非常少，且基本上都是老一辈劳动者，这些人文化程度普遍偏低，经济水平也相对一般，对蕴含丰富文化内涵的苗族银饰不甚关注。

①通过解一元二次方程的方法，估算方程x2+2x-5=0的近似根的范围（1＜x＜2或-4＜x＜-3），在逐次“用取中点的方法缩小探索范围”的帮助下，给出符合表格要求的自变量x的值（自上而下是1、2、1.5、1.25、1.40（1.375的近似值）、1.45等）.这种主动关联一元二次方程的解法，借助可视的函数图像连接估算思想的处理视角，是一种成功的思维联手，融汇了思想方法（估算思想、数形结合思想、方程思想），锻炼了思维张力，加强了思考内力.

②借助几何画板重新画出函数图像，显示隐去的坐标，找到近似根的逐级范围.虽然直观明了，却丧失了具体的估算的机会，错过了体验的契机，引发了思维断层.

③借助画函数图像的草图，找到了近似根的逐级范围.虽然费时费力，却能在画图中提前感受逼近的思想，在错过了估算（端点的估算）机会的同时也赢得估算的契机（画图的过程充满着估算的思维）.

④直接借助课本，复制了近似根的逐级范围.虽然省时省力，却错过了体悟思想方法的机会，没有获得本可以得到的一定层面的微发展，实为可惜.

方法①③虽然有点“笨”，但都是通向通法，能让学生获得举一反三、触类旁通的思维生长力，能让计算和作图“技能”演变为体验数学思想方法的支架，达到“道”的视界.最笨的探索方法往往又是最自然、最简单、最通用的方法，也是最理性的方法，给人一种“大道至简”的感觉，能让人明白知识经验的来龙去脉，能获得常学常新的内力.

在借助几何画板运行“二分法”逐次逼近使函数值为0的点、在精确度的参与下（精确到0.1）、给出函数值y=0时x的近似值（即相应的一元二次方程的近似根）这一模块时，为帮助学生理解近似根确定方法的可信性，让每个学生借助画板动态演示函数值y=0时，附近函数值的变化过程，在躬耕劳作中体验“无限逼近的思想方法”，让知识产生有根有据、经验方法掷地有声，实现数学实验的理性回归.在操作的过程中，数据的获得与分析，逼近思想的可感化，几何画板的循序运作，思考过程的展现等伴随着理性思维，浓缩了“道”的内涵，“技”“道”并进，让学生在不经意间明白知识方法的源起，清清楚楚感受言语无法说清楚的“逼近思想”．因此，张扬大道至简，方能让数学实验回归理性．

三、突破边界思维：数学实验课的知性复归

案例3 写出一个两根均为无理数的一元二次方程，借助函数图像验证该方程的近似解．完成表格4.

表4

这个活动创设的目的是让学生在开放的文本环境下考量自己的综合应答能力．两根均为无理数的方程的确定需要利用根的判别式知识以及解方程的逆向思维能力；对应函数解析式的确认需要转化能力的参与；自变量与函数值的确定需要从前实验中获得的经验的奠基以及运算的帮助；实验结论的归纳（一例一悟式），借助估算的帮助，能让新知敞亮通透，屏蔽杂芜．同时活动的开放度较高，能让学生在自己理解的知识层面选择自己喜欢的操作载体，既吻合个体兴趣指向，又唱响了“不同的人在数学上能获得不同的发展”的新课标理念．

在具体操作的过程中，执教者秉持放逐思维的实验理念，大胆放手让学生自己“玩”．起初，很多学生给出的方程要么没有根，要么根为有理数，心情很急躁．教师并没有为节省时间告诉学生该怎样做，而是让学生把不符合条件的方程整理在展板上，下放给小组交流研讨，寻找症结所在，查明病因．经历计算、观察、分析、碰撞、质疑以及思辨，终于获得了写出符合条件的一元二次方程的通法（方程各项系数为有理数，根的判别式的结果是不为完全平方数的正数）．至此，学生的先期计算、试写过程、逆向思维、判别式的运用等饱含计算机理的“技”上升为“道”（通法）．这期间，看似浪费很多时间，不如教师的简单提示那样经济节约．但是煞费周折的让学生自我突破内层思维的边界、拉动知识链条，是个体思维的生动经历，永远扎根于思维的顶层，到达终身难忘的境界；而教师的体验是不能代替学生的体验的，“教师抛得越快，学生忘得越彻底”！因此，浪费点时间值得做、应该做、必须做．“记忆与慢成正比，遗忘与快正比”，米兰·昆德拉如是说．

为揭示方程和函数图像的内在关联，让学生借助几何画板画出草图并验证近似根的合理性．在具体运作的过程中，学生通过计算、画图、取特殊值、寻找特殊点的方法，再度体验了逼近思想、估算思想、特殊到一般的思想等，形成个性的应答策略，发出了自己理解的声音，生成了理解的数学思想方法，实现了“技”“道”共生共赢的知性复归．

四、点滴随感

其一，数学实验作为活动的一种形式，应该具有活动的共性表征和个性特质．低起点，让每一个学生都能参与，都有能力“玩”，不可一刀裁剪实验目标；新鲜感，让学生觉得好玩，自觉进入“追蝴蝶”的境界，思维含金量不是唯一的考量标准；生态性，让学生在活动中获得生长的内力，立足于生命的长远发展，解决问题的数量不是评价的重要指标；简约性，让学生伸手能够得着（剪剪、拼拼、算算、看看、做做等）还需跳一跳，流程简明，操作简易，能在一定层面上催生不易理解的知识，思维的能见度不作整齐划一．

其二，数学实验教学中的“技”是“道”的根基，“道”是“技”的灵魂．没有“技”的铺垫，“道”就成了无源之水；没有“道”的统摄，“技”就成了无魂之木．“技”能衍生“道”，“道”能提升“技”；“技”与“道”共融共长，交互促进，相互提携；唯有兼顾“技”、“道”，才能打造数学实验的品质．“小技”生“小道”，“大技”生“大道”，“道”“技”谐振是数学实验永远的精神追求！