探究一道竞赛题

☉江苏省常熟市中学 查正开

这是2011年西部奥林匹克数学竞赛第1题，参加这次竞赛的同学普遍感到此题较难上手.实际上，本题是一个贴近高考、背景公平、对称优美的竞赛题，学生解题困难是没有把握问题的本质，事实上，这道赛题源自人教版选修4-5教材中的一道不等式题.

习题：已知a，b，c∈R+，且a+b+c=1.

求证：（1-a）（1-b）（1-c）≥8abc.

分析：这道题目的证明，是运用二元均值不等式的一个典型范例.

证明：由a，b，c∈R+，a+b+c=1，结合均值不等式得：

以上三式相乘即得（1-a）（1-b）（1-c）≥8abc.

在赛题中，令1-x-y=z，x+y=1-z，问题即为：

对这一赛题做进一步类比加强，利用换元结合两角和正切公式（高考重点内容），笔者编拟了一个类似问题，供同学们探究.

上式取等号，

由此可知，竞赛题和高考题均源自课本（或高于课本），我们只要透过表面现象，把握问题的本质，分析题目的结构特征，运用所学数学知识和方法，可以使很多看似复杂的问题得以顺利解决.