三角函数扎根“单位圆”

☉江苏省泗洪中学 祖 飞

综观近年各省市高考命题，以单位圆为背景、从三角函数的定义入手成为三角命题新亮点，此类试题，关注三角函数的本质问题，注重考查“过程与方法”，深刻体现了新课标对高考试题的命制要求，下面举例分析.

一、坐标“形化”定义

圆心在原点，半径为1的圆称作单位圆，单位圆的引入使三角函数的定义形象化，单位圆上点的坐标使三角函数值的计算直观明了.

图1

（Ⅰ）求tan（α+β）的值；（Ⅱ）求2α+β的值

点评：角的大小是变化的，由此而成为一个角自变量，角自变量的三角比值、如正弦比值在“角变量”的变化时随之而变，由此正弦值成为“角变量”函数，正弦函数是正弦比值函数的简称.

二、坐标“量化”边长

如果将单位圆视作为动点的轨迹，则此轨迹可看作是：顶点在原点、始边OA=1在x轴正向上，角的终边OP的端点P（x，y）的轨迹，其中x，y分别是端点P的横、纵坐标（如图2）.

图2

（Ⅱ）分别过A，B作x轴的垂线，垂足依次为C，D.记△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2.若S1=2S2，求角α的值.

图3

点评：角的概念可从锐角扩展到任意角，此时角的两边与其“所夹的角”虽然不能组成三角形了.但角变量的“三角比”还存在.

三、“同角关系”单位圆的三角式

同角关系中sin2θ+cos2θ=1与单位圆方程x2+y2=1在结构上有本质的联系，在许多情况下可将所要解决的三角问题转化到单位圆中，运用圆的有关知识进行解决，使问题变得直观，常能化繁为简，化难为易，从而达到优化解题的目的.

图4

例4 已知θ为锐角，求满足2cosθ=1+sinθ的θ值.

图5

点评：以上两题，用的是同一种方法，构造单位圆，结合斜率知识解题，简捷而巧妙．在三角问题的求值、求角、证明等过程中，经常会遇到关于sinθ与cosθ的关系式，并且通常使用关系式sin2θ+cos2θ=1进行转化，使问题得到解决．

四、单位圆与三角函数线

数缺形时少直观，形缺数时难入微.单位圆为三角函数值与三角函数线建立的数形结合达到了“直观入微”的境界.

（Ⅱ）求△OPQ面积的最大值.

图6

点评：通过单位圆,正弦函数、余弦函数和正切函数的值域、定义域及其单调性也直观可见.微观而隐蔽的三角函数间关系，通过三角函数线可得到简便而直观的解答.

由上面的几个例题，我们可以看出，单位圆视角下命题，不仅体现了课程标准所倡导的“返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质”，而且能实现对数学学科知识多维度考查，因此，此类试题必将是试题设计的一个好的始点.