关于教材例题教学的一些思考

☉广东省东莞市常平中学 刘丽娟

例题的教学是课堂教学过程中极其重要的一环，它对一堂课的成败有着直接的关系，因此教师从例题的挑选、组织到例题的分析、讲解都要非常慎重、认真.教学中教师一般都会根据具体情况或多或少自编或从课外选择一些认为有价值的例题加强教学，而教材中的例题，在各种因素的影响下正充当着各种不同的角色.在新课标大力倡导“积极主动、勇于探索”学习方式的背景下，在高考命题日益体现学生能力的形势下，我们应该如何正确处理教材中的例题，下面我根据自己的教学实践谈谈对这个问题的看法.

一、教材例题处理的误区

1．不屑一顾

教师在教学中对教材中的例题常常一带而过，甚至全盘否定，完全另选全新的例题.他们认为教材中的例题太简单，不能体现自己的教学水平，而且常常选用给人以照本宣科之嫌，而自选例题可以设计出更符合学生实际的课，更好地体现自己的教学特色.然而教材是众多专家经过多重思考与仔细推敲后编写的，编选的例题虽然不能说最好，但具有科学性、示范性、典型性和导向性.长期对教材例题轻描淡写或搁置不用，首先不能发挥教材例题应有的作用，其次自选例题还有可能无形中超出课程标准要求，加重师生负担，使学生产生畏难情绪，更重要的是易使学生产生轻视课本的不良心理.

2．照本宣科

教师教学时对教材中的例题一题不落，道道“过关”，但不作深入的研究，不求一题多解与一题多变，书上怎么写就怎么讲，讲完做练习或讲补充例题，这至少体现出教师没有真正的理解教材，对教材的驾驭能力不强，长此以往，必将使学生对数学的兴趣下降，思想僵化，从而抑制学生的创造思维，阻碍学生思维能力的发展.

二、教材例题的处理

对教材中的例题，不屑一顾或照本宣科都不是正确的态度，我们应该合理选用，充分挖掘其潜在的功能.

1.对课本例题的合理设计，激发学生的参与意识

课本例题，是数学教学中传授知识、展示数学思想方法、培养学生能力的重要载体.学生解题，仍然较依赖例题的教学模式、思路和步骤，力图实现解题的类化，对学生解题具有积极的指导作用.教师在挖掘例题潜力时要对课本例题的设计、解法反复研究.

对解题方法进行深入挖掘和研究，做到一题多变，培养学生思维的开阔性和灵活性.同一个题目从不同的角度去分析研究，可以得到不同的启迪，因而可用不同的解法，进而延伸解题的思维触角，也激发了学生的学习兴趣，培养学生的创新意识和创新思维能力.

例1 如图1，已知OPQ是半径为1，圆心角为60度的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形.记∠COP＝α，求当角α取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积.

图1

图2

图3

变式训练：若例1中的条件去掉“记∠COP＝α”，结论改成“求矩形ABCD的最大面积”，还有其他的解决方法吗？

引申训练1：如图2，已知OPQ是半径为1，圆心角为60°的扇形，A、B是扇形弧上的动点，AB平行PQ，ABCD是扇形的内接矩形.求矩形ABCD的面积最大.

引申训练2：如图3，四边形ABCD是一个边长为100m的正方形地皮，其中ATPS是半径为90m的扇形小山，其余部分都是平地，P是弧TS上一点，现有一位开发商想在平地上建造一个两边落在BC与CD上的矩形停车场PQCR.求矩形停车场PQCR面积的最值.

本例题是让学生了解三角函数在实际问题中的应用，培养学生自主探究，独立思考的数学品质，掌握解决应用问题的思路和方法，学会思考问题、分析问题和解决问题.不断通过变换图形，利用函数、三角函数、不等式等知识，探究扇形和圆的内接三角形、内接四边形等图形的面积问题.通过变式和引申的训练，培养学生的应用意识及发散思维，激发学生的参与意识，提高学生灵活解题的能力，培养学生数学建模的能力，进一步熟悉三角函数在实际问题中的应用.

2.对例题运用变式教学，培养学生数学思维的灵活性

在教材例题教学中，教师还可对某些例题进行适当改编、推广或引申，让学生在不同角度和背景下重新认识，以开拓学生的视野，激活学生的思维，培养探索精神和创新意识.

（1）运用变式，促进学生对概念、定理、公式的进一步理解和掌握

在巩固练习和阶段复习时，精心设计一些有坡度、有联系的题组，沟通知识间的联系，有利于扩展学生原有认知结构，形成知识网络.

在学习完等差、等比数列的通项公式后，需要根据递推关系求通项，我们往往会通过等差数列的递推公式和等比数列的通项公式进行变式.

例2在数列{an}中满足a1=2，an+1=an+3（n≥1），求数列通项公式.

接下来通过变式：

变式1：数列{an}满足a1=2，an+1=an+n（n∈N*）求通项公式.

目的：为了引入累加法求通项.

变式2：数列{an}满足a1=2，an+1=2an+3（n∈N*）求通项公式.

目的：为了引入构造新数列求通项.

变式3：数列{an}满足a1=2，an+1=an+3n（n∈N*）求通项公式.

目的：一让学生现学现用累加法；二为下面的变式做铺垫.

变式4：数列{an}满足a1=2，an+1=3an+3n（n∈N*）求通项公式.

目的：让学生活用构造新数列的方法.

这样，对新的概念、定理、公式的进一步理解和掌握.最后根据上面的四个变式，就得到了这些递推公式的统一形式：数列{an}满足：首项为a1，an+1=pan+q（p是常数，q可以是常数，也可以是一个表达式）.对于这个统一的表达式，就可以根据刚才四个变式而得到四种不同的题型.

（2）利用变式，培养学生的观察、分析和概括能力

在新知识教学中，精心设计一连串的变式题组，由浅入深，既体现在知识、思维上的铺垫，又展示知识的发生过程，找准新知识的生长点，让学生利用已有的知识结构来同化新知识，实现知识的迁移.如：学习完解一元二次不等式后，将要学习解分式不等式，而解分式不等式的关键是转化为一元二次不等式，所以针对教材上解一元二次不等式的例题，可以设计这样一组变式题型.

例3 解不等式（x+4）（x-1）＜0.

不少教师认为该题太简单，因而一带而过，甚至视而不见.其实在教学中若能积极加以引导，合理变式，学生将有很大的收获.

有了上面的铺垫，学生应能想到用分类讨论手段解决变式5.

这组变式题组是围绕解分式不等式的教学目标，由易到难、由旧知到新知逐步过渡，层层深入，还有为“学有余力”的学生专门设置的综合提升题变式5，以解决他们“吃不饱”的问题.这样学生通过自己分析、概括，参与问题设计，使得对抛物线标准方程的理解将更透彻、更深入.

（3）利用变式，培养学生联想、转化、探索的思维能力

在变式时，对变式所达成的目标应该清晰，而不能含混不清，它表达了教师改造习题的意愿.

目的：让学生知道基本不等式应用中，首先应该满足“一正”.

目的：使得学生懂得基本不等式的应用中应该满足“三等”的真正含义

目的：使得学生能真正理解基本不等式中的“二定”

由上面的实践经验发现可以通过变式明确公式定理的条件，结论和适用范围，注意事项等关键之处，让学生深入理解定理公式的本质，从而培养学生严密的逻辑推理能力和正确演算能力.强化了定理公式的条件和适用范围，培养严谨思维.这样通过从已有问题中归纳、分析得出结论，有助于发展学生的联想、转化、探索思维能力.

3.总结反思，开发学生数学学习的潜能

为防止学生的学习停留在例题表层，在教材例题讲解后，我们应该及时引导学生进行总结反思，以达到举一反三、触类旁通的效果.

（1）总结解题思路和方法

教材的例题往往反映的是本堂课的基本知识，因此其解法也一般局限于本节或者是本章的知识点，而其实解决问题的思路和方法可能远不止这些，另外教材例题给出的解法也可能存在一定的局限性，因此，在例题教学后教师应及时引导学生反思本题是否还有其他解法，哪种解法较为简捷，哪种解法具有一般性，以此拓宽学生的解题思路，掌握解题规律.这有利于克服学生的思维定势，训练思维的变通性.

在讲某个例题的时候，发现这个题目的知识点与其他某个知识点很相像，为了使学生不容易混为一谈，应通过例题的变式，变为其他的知识点，使学生能加以区别.

对任意性，学生都比较熟练，马上可以得到结论fmax（x）≤gmin（x）.而容易混在一起的是存在性问题，是学生的难点.为了使学生能把这两种题型区别开来，我们可以对例题进行适当的反思变式.

通过这两个反思，使得学生能够区别存在性与任意性的不同，虽然都是与最值有关的，但最值的关系是相反的，通过2个反思就达到了触类旁通的效果，而不会使问题独立化.

（2）反思解题失误

在例题教学中，对问题的解答，一般都有一个学生思考或师生共同探讨的过程，因此出现某些解题障碍是必然的，甚至为了让学生有更深的印象，教师有时也要有意识地故意设置解题失误.教师若能以此为契机，反思失误的原因、过程以及解决的方法，及时总结，就能激发学生的学习兴趣，锻炼学生的学习意志.

例6已知函数f（x）=2+log3x，（1≤x≤9），求函数g（x）=f2（x）+f（x2）的值域.

错解：g（x）=log32x+6log3x+6，由1≤x≤9，得0≤log3x≤2，故g（x）的值域［6，22］.

上述错解因为忽视定义域导致误求值域，从中可以得出如下结论，在研究与函数有关的各种问题时，必须树立“定义域优先的观念.”这种问题是学生刚学习函数时容易出现的，若教师在教学中能有针对性地设置错误，并仔细分析，学生应该学得更加轻松.

三、几点感悟

1.要尊重课本，用好课本

课本是经过教学实践“千锤百炼”、反复打磨出来的精品课程资源.其文字语言、数学表述都是经过反复推敲；情景创设、问题探究几乎都是经典范例；每副插图、每道例题、习题都是具有其特定的教育功能，都蕴含着某些数学思想和方法.课本的基本功能、所蕴含的本质内涵和其折射出的深远意义等灵魂性的东西，在教学时教师要予以尊重，不可无视课本的存在.如何改造课本、如何使用课本，是教师必须要深思的问题.在改造和重组时不能改变课本的意图和所承载的目标.否则，将会使教学反馈大打折扣，使课本的育人功能大大降低.

2.要充分领会教材的编写意图

教师要理清课本中每一个教学内容的编排线索，了解这一教学内容被安排在几个模块中，每个模块的主要教学任务和要求都是什么，在例题、习题的改编过程中，教师要站在整个高中阶段的数学体系中来审视和把握它的地位和作用.这样才能做到全局考虑.同时也要思考课本中编写了什么，为什么要这样编写.只有准确把握课本的知识点、生长点、重难点，教学时才能做到有的放矢.

3.要注重对课本的改编和再加工

对课本的改编和再加工，是在充分领会课本的意图、把握教学思路前提下的一种教学行为.这种教学行为的目的是结合学生的实际情况，使例题、习题的设计最符合学生的要求.课本的改编和再加工的关键是对数学学习素材的选择.它不仅关乎学生对数学的学习兴趣、动机以及对数学的理解，而且直接影响学生数学学习潜能的开发，决定着学习活动是否生动有效.

总之，课本中每一个例题、习题的设置都有其目的和作用，体现着本节知识应达到的能力要求.我们不仅要紧扣课本，认识到认真钻研课本的重要性，突出课本基础知识的作用，突出课本例题中数学思想方法的挖掘和应用，也要重视课本习题潜在功能的挖掘与利用.指导学生回归课本，挖掘课本的潜在功能，对课本典型问题进行引申、推广、改编和再开发，发挥其应有作用.