“预设”诚可贵 “生成”价更高

☉湖北省宜昌市田家炳高级中学 蔡传海 李成德

“数学是自然的”，这是人教版数学新课程教材《主编寄语》中令人印象最深的一句话.通过近几年的教学实践，笔者深切感受到这句话不仅是数学教师教学的基本理念和指导思想，更是学生学好数学的基本方法，它是数学新课程教与学的“点睛”之笔.

如果我们在数学教学的预设、生成、转换和变化等过程中，多关注和研究一些学生思维发展过程中的自然生成状态，使教学更贴近学生，使师生的思维对接点更流畅自然，这样不仅能使学生明白思维发展变化的规律，增强学生学好数学的信心和能力，而且会获得意想不到的效果.

一、“自然生成”的课堂案例

当学生对（a+b+c）3-27abc≥0的证明陷入困境时，笔者适时提醒学生能否用“函数思想”解决问题，这一提议立即得到学生的热烈响应，因为函数是学生最熟悉的数学知识，而且刚刚学习的导数更让他们在函数问题的处理上如虎添翼.学生强烈的好奇心和求战欲望，为本堂课后续的探究教学做好了充分的情绪铺垫.我们顺势而为，另辟溪径地完成了如下的解法：

不妨设函数f（x）=（x+b+c）3-27xbc（b＞0，c＞0，x＞0），

所以f（a）＞0，（a+b+c）3＞27abc成立.

得证f（a）=（a+b+c）3-27abc≥0（a，b，c∈R+）成立，当a=b=c时取等号.

综合（1）（2）得定理3成立.

这次成功的探索体验，解决了学生在课堂中自然生成的想法和疑惑，让学生体会到函数在数学应用中的作用，生动地展现了函数思想的应用过程，也让学生切身感受到学习过程中的“成功感”，增强了学习数学的兴趣和信心.这远比那种照本宣科、生搬硬套式地讲授课本预设思路来得生动、自然和高效！

二、“意想不到”的生成效果

这种自然生成的教学状态让笔者印象深刻，然而它所产生的后果很“严重”，它对学生影响之“深远”，在后续的高三复习中是笔者意想不到的.

（1）求F（x）=f（x）-g（x）的极值，并证明：若x1，x2∈（0，+∞），有f（x2）-f（x1）≥f′（x1）（x2-x1）.

（2）设λ1，λ2＞0，且λ1+λ2=1，x1＞0，x2＞0，证明：λ1f（x1）+λ2f（x2）≥f（λ1x1+λ2x2）.

若λi＞0，xi＞0，（i=1，2，…，n），由上述结论猜想一个一般性结论（不需证明）.（3）略.

本题的关键是第（2）题的证明部分，参考答案为：

令x3=λ1x1+λ2x2，则x3＞0且

由（1）得

由λ1×①+λ2×②，得λ1f（x1）+λ2f（x2）-（λ1+λ2）f（x3）≥0，

即λ1f（x1）+λ2f（x2）≥f（λ1x1+λ2x2）成立.

这种预设的解题思路技巧性强，解题前的思维探索过程复杂，对学生而言是不自然的，难以完成.而学生的思维方式有些让笔者感到“意外”.

学生解：要证λ1f（x1）+λ2f（x2）≥f（λ1x1+λ2x2），即证λ1lnx1+λ2lnx2-ln（λ1x1+λ2x2）≤0，令h（x）=λ1lnx+λ2lnx2-ln（λ1x+λ2x2），

当x∈（0，x2）时，h′（x）＞0；

当x∈（x2，+∞）时，h′（x）＜0；

所以hmax（x）=h（x2）=0，即h（x）≤0，

所以结论成立.

案例2 （2013年某市四月调研考试第22题）（1）已知函数f（x）=（1+x）α-αx（x＞-1，0＜α＜1），求f（x）的最大值；

笔者在与学生的交流过程中，发现学生这种自然生成的“函数思想”应用意识，一方面与他们较扎实的函数知识有关，另一方面与笔者在教学过程几次顺势而为的灵机触发有很大的关系，其中就有前面谈到的让他们印象深刻的那堂课.“种瓜得瓜，种豆得豆”，笔者不经意种下的“种子”，竟在某个时刻发芽了！

三、“茅塞顿开”的感悟启迪

1.教师要精心呵护、研究、培育学生自然生成的思想和方法，让学生那些稚嫩的思维萌芽，有生存的土壤，有壮大的空间.让数学教学过程自然一点，再自然一点；让师生的思维状态贴近一点，再贴近一点.在教学的预设和生成过程中，少一点“守”，多一点“放”；少一点“循旧”，多一点“出新”；少一点“假大空”，多一点“自然性”.

2.敬畏学生思维成长的力量，做一个顺势而为的善导者.教师要与学生一起组成一个顺势而研的研究团队，让学生思维的敏锐生长状态与教师的丰富经验和开阔眼界有机结合，让学生学得通畅、不留疑惑，让学生的思维呈现出生动的勃发状态.

3.教师也是学习者.“自主合作学习”模式不应只是学生间的自主合作学习，而应是更高质量的师生合作学习.教师应多关注、研究、整理学生自然生发出来的各种思路、想法，更多地尊重、理解学生思维产生的背景和过程，让“金子”发光，让“渣子”过滤，最后收获的不仅是学生，可能更多的还是我们！