初探中学数学教学难点确立依据与突破策略

☉山东省东营市第一中学 刘爱云

不管课程如何改革，教学方法如何创新，数学教学都离不开对数学知识重点和难点的深入思考与分析，只有学生掌握了重点、突破了难点，课堂学习才是有效的.那么，哪些知识点是中学数学的难点？难点形成原因是什么？如何突破？这一系列问题就很值得研究，笔者对此做一些初步探讨.

一、难点确立的主要依据

（1）数学知识本体的绝对难度；（2）学生主体的认知相对难度；（3）课标与考纲的难度要求.

百度百科对“难点”是这样解释的：问题难以解决之处；对“教学难点”的释义是：教学难点是指学生不易理解的知识或不易掌握的基本技能技巧.由此我们可以得出：难点确实是客观存在的，而且主要指向学生的学习，是对学生而言的.数学因高度的抽象性、严谨性等学科特点，给学习者带来的困难相对来说可能要多些（正因为“难”，国外一些发达国家将数学作为选拔和培养精英的“筛子”，如英国的律师大学要进行严格的数学训练，美国的西点军校把高深的数学课程设置为必修基础课），但作为中学数学，我们认为还是以“知识本体自身所具的绝对难度、学生主体的实际认知相对难度、课标与考纲的难度要求”三维指标为难点确定依据，操作时要充分考虑、权衡三者之间关系.

案例1“函数概念”

从数学知识自身绝对难度分析.函数概念历经三百多年，通过历代数学家多次抽象概括，由“变量说”到“对应说”，内涵丰富，思想精深，函数概念的高度抽象性、复杂性、隐蔽性和形式化要求确立了函数的绝对难度.

从学生主体认知难度分析.一是观念转变的困难，有从常量的静态到变量的动态的首次华丽转身，也有从“变量说”到“对应说”的二次蜕变；二是短时再发现、再创造课堂学习与真实函数概念产生、形成和发展背景存在巨大的时空差距；三是不同学历学生在认知心理和能力上存在客观差异.总的来说，从认知心理层面来看，函数概念学习更多的是顺应过程，要求学习者更多的自我反省和调整，这是造成主体认知困难的主因之一.

从课标与考纲的难度要求分析.课标认为函数概念的学习不是几课时就一蹴而就，而需螺旋上升，贯穿整个数学的学习过程，作为中学数学核心概念，高考对函数的考查保持足够的深度和难度要求，以2012年湖南省理科试卷为例，选择题最后一题是函数题，解答题最后一道压轴题是函数题，倒数第三题是一道函数模型的应用题.这些题得分很低，难度很大.函数的难，与中国的高考“国情”需要有很大的相关性.

需要说明的是，“难点”是一个相对概念，通过学习，它也会发生变化.有的难，难在内涵思想深邃，如微积分概念、无限的思想等；有的难，难在变换技巧的不易把握，如证明不等式的构造与放缩；有的难，难在运算的繁杂冗长，如解析几何多元参变量的讨论.学习是一个渐进的过程，从无知，到知之较少，到知之较多，甚至大彻大悟.教学难点的确定，要注意范围和分寸的把握，就是“不超纲”；要注意学生的可接受性，避免随意拔高而“曲高和寡”.

二、难点突破的策略探寻

难点的突破可以从宏观与微观、教法与学法、知识与思维、技术与心理等不同角度切入，我们认为以下几点可以作为难点突破策略或原则在教学时予以遵循或参考.

1.分散难点，各个击破

一节课中难点的设置个数宜少而典型，难点突破视角宜开放且重在反省.

难点之所以为难点，主要表现为学生学起来困难，数学活动中思维滞塞，联通缓慢.所以数学课堂给学生思考、讨论、消化的时间和空间相对来说就要更足些，这就意味着在一节课中难点的设置不宜多，“贪多不化”，另一方面，难点的突破，关键要打开学生被束缚的视角和思维，让他们敢想、会想.教师的工作，重在难点的精心规划，设置富于挑战的问题，引导学生思考、探索和交流.需要指出的是，有时仅依赖于一节课，一两道题就将难点突破可能不太现实.虽然我们努力追求“举一反三”，可是事实上，教学中很多时候却要“举三反一”，有些比较顽固的疑难问题，更需要师生与之做“长期斗争”，所以同一难点在阶段复习中要有目的、有计划地多次出现、反复出现（反复是学习之母，但不是简单的低层次机械重复），不断反省总结，促进认知走向深入，从而实现“化难为易”、“熟能生巧”.

案例2“一道绝对值不等式题的多角度证明”

难点分析：“绝对值”和“根号”是学生普遍“恐惧”的“符号障碍”，但又是高考必须要迈过的“坎”；此题以不等式证明为载体，切入视角开阔，思维发散灵活.若放手让学生充分思考、讨论，定能在“符号障碍”突破、“思维通道”打通、“形式化”表述方面帮助他们积累经验，而思维碰撞、批判反省、个性张扬的经历有助于提高他们的解题自信.

师：这节课我们只做一道题，但要比比谁的想法多，谁的想法精彩！

一节课下来，前后两块黑板都写满了，主要有以下思路：

学生1：（平方法）

学生2：（导数法）

学生3：（由斜率思图）

学生4：（距离结构）

的几何意义为：点A（a，1），B（（b，1），O（0，0），OA与OB两边之差的绝对值小于第三边AB.

学生5：（勾股定理）如图1：

图1

这是在高三二轮复习时“绝对值不等式”课堂上留下的一些东西，翻阅教案，有笔者课后对学生解法的补记，譬如后两种思路是李治鑫、王博同学课堂上的“生成”.笔者的“课后记”：这堂课“上”的比较好，因为放手，学生很是动了脑筋，给出了一些预设外的好办法；难点突破，贵在打开心结，开放视野，“办法总比困难多”.

2.循序渐进、螺旋上升

这是难点突破必须遵循的基本原则，既要在宏观上有整体协调和把握，也要在微观上做好精心设计和处理.

张奠宙先生在文［1］中对“讲了学生也不会的就不讲”的观点提出了自己的看法：人的认识过程是螺旋上升的，…以后或许也会懂一点.对于教材、课标和考纲要求掌握而有困难的东西，那就更不能回避.实际上现行教材的编写，比较好的突出和贯彻了循序渐进、螺旋上升两条原则.仍以“函数概念”这一核心概念为例：必修1从初中衔接过渡，学习对应下的函数定义、研讨函数性质、学习幂、指、对几类具体函数，必修4又以三角函数为载体进一步学习，必修5用函数观点研讨数列、不等式，选修2-2讲微积分，用导数研究函数.这一过程就是螺旋上升、逐渐深入.所以不管是宏观上的整体把握还是微观上例习题讲解，都应以循序渐进、螺旋上升为基本原则，越困难的地方越要这样处理，这才符合学生认知规律和学习心理.难点的突破要克服急于求成、急功近利的心理.

不过要注意，循序渐进、螺旋上升不是对知识降低要求和消磨困难棱角.张奠宙先生给我们上课时曾打过一个生动的比方：那种对知识降低要求的做法，表面上是为了方便学生听懂和接受，将学习变得容易，实则对学生的发展有害无益，就像把本来营养不高的袋装奶粉还不断地用水稀释，营养成分少了，长期喝这样的奶，不利于身体健康.先生的话语重心长，耐人寻味.

3.点拨示范，适时适度

教师要适时、适度的启发、点拨和示范，但更重要的是要帮助学生树立相信自己力量的信心和形成锲而不舍的钻研精神，高效率地帮助学生理解相关内容，学会分析，化解困难，少走弯路，但教师不能包办代替.“悟”字构造本身耐人寻味：竖心旁一个吾，我给学生解释为“我用我心”.学习就得用心，“师傅领进门，修行靠个人”、“世上无难事，只怕有心人”就是这个道理.“吃一堑长一智”、“急中生智”对难点突破也有启发意义，那就是要能承受住在尝试中的失败挫折，学会从失败中获取智慧.学习者要将自己置身于急难困境之中，激起解决征服困难的欲望从而产生智慧火花.新课标在课程目标中提出“提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度.”没有经历解决一些比较困难的数学问题的心路历程，谈数学的兴趣、信心和精神，我们认为是不真实、不可靠的.在文［2］中数学家苏步青谈及年轻时在东京求学的一个故事，有一次有几个题遇上困难他去问导师洼田教授，老师没有告诉他解决具体题目，而是送给他厚厚三本相关参考书，他花了数月时间才把书啃完，这几本书和这段经历奠定了他“中国微分几何奠基人”崇高地位，有感于此，他提出“要使学习者相信依靠自己的力量才是最可靠的”的观点.所以，难点的突破，其意义还不止在一技一法的获得，更在于把它作为树立学生相信自己力量的信心和形成锲而不舍的钻研精神的良好契机.“攻城为下，攻心为上”，数学难点的突破，要在学生的心理素质和意志品质上下功夫！为什么应用题得分低？因为好多学生害怕到连题目都不敢读！解析几何大题运算不过关为什么成为老大难？因为平日能硬起头皮，一算到底的人少之又少！借用毛主席的话来说“战略上藐视，战术上重视”，心理素质和意志品质很重要，其意义甚至超过了数学本身，从更高层面体现了数学育人的价值功能（前面提及的英国律师的数学训练，美国的西点军校把高深的数学课程设置为必修基础课的做法，看重的是数学对思维严密严谨养成、理性精神确立和顽强坚韧意志品质塑造的巨大作用）.

4.改善教学方法和手段，倡导学习方式的多样性

教师对教学难点有自己的研究体会很重要，但“只懂数学而不懂教学却可能使课堂一团糟（M.克莱因语）”，波利亚也表述过类似观点：只有得法的教学才能发挥数学启迪心灵的作用.难点突破不太可能依赖单一的教法和手段，应结合具体的教学目标和内容，将不同的教学方式、方法和手段加以综合应用，达到最佳的优化组合.譬如强调在数学活动和情境下的“做中学”，基于学生在解数学问题时依次发生四种困难“理解性困难、构造性困难、运算性困难和判断性困难”研究的国外流行数学教法“学习困难分析法”，基于尝试练习、自学引导的“尝试教学法”等教学方法在教学难点的突破方面都有较好的借鉴之处；利用实物、模具和多媒体信息技术将抽象问题具体化、直观化，通过大量实例观察、比较在获得丰富感性认识基础上的抽象概括，运用通俗、生动、形象的语言表述数学概念和问题的技巧等，都可以作为难点突破的重要手段.同样，加强学法指导很重要，弗赖登塔尔就说：数学知识不是教出来的，而是研究出来的.他的观点可能太前卫了，但研究性学习、学习的研究态度确实对数学学习太重要了，新课程倡导自主、合作、探究，要求改善教与学的方式，使学生主动地学习，对教学难点突破尤为重要.数学难点的突破，有时仅靠单个学生自身力量太难，为了提高学习的时效性，需要所有学生积极主动地深层次参与，需要学生在充分独立思考基础上展开广泛而有意义的合作、交流，学习小组、学习共同体的构建就很重要.

总之，只要存在教学，教学难点研究就是一个永不结题的课题，对它的思考，就是亘古而又弥新的.

1.张奠宙，赵小平.对所谓“三不讲”的质疑［J］.数学教学，2011（8）.

2.苏步青.数与诗的交融 ［M］.百花文艺出版社，2000，1.