奇异混合双曲Bézier曲线的研究

何 敏， 黄有度

（合肥工业大学 数学学院，安徽 合肥 230009）

奇异混合双曲Bézier曲线的研究

何 敏， 黄有度

（合肥工业大学 数学学院，安徽 合肥 230009）

文章在双曲Bézier曲线的基础上加入混合奇异函数，该函数包含2个对曲线有调控能力的形状参数；并给出奇异混合双曲Bézier曲线的基函数及其性质。通过图形演示形状参数对曲线基的调控能力和修改能力，对曲线设计有着重要的意义，该类曲线作为一种新的几何造型工具，广泛应用于CAD／CAM领域。

双曲Bézier曲线；奇异混合函数；超越曲线；计算机辅助几何设计；光滑拼接

Bézier曲线和B样条曲线是计算机辅助几何中比较基础的2类曲线［1］，它们具有许多优良的性质，在实际工程中得到了广泛的应用，但也存在一些不足之处，因为构成这些曲线的基是多项式基［2］，并不能表示一些非代数曲线，如圆弧、双曲线、悬链线等，因此人们试图在非多项式空间中寻找一组基用于非多项式曲线中，从而出现了螺旋线、双曲Bézier曲线及代数Bézier曲线等。

给定控制顶点后，任何空间的一组基要通过形状参数来控制曲线的形状。文献［3］提出了带1个形状参数的二次Bézier曲线的扩展；文献［4］则将其推广成n次Bézier曲线的扩展。文献［5］在多项式空间中提出了一种带多个形状参数的Bézier曲线，这样既能整体控制又能局部控制曲线形状。文献［6－7］给出了多个形状参数双曲Bézier曲线基的构造方法，但用该方法在计算n次曲线基函数时，把n－1次基函数的形状参数当成相同的值来计算。

本文给出一种利用奇异混合函数的方法来构造含有形状参数的双曲Bézier曲线基，不仅保留了双曲Bézier曲线的一些性质，还增加了曲线的描述能力、控制能力和修改能力。

1 奇异双曲Bézier曲线的基

本文通过双曲Bézier曲线的基和奇异混合函数［8］来推广双曲Bézier曲线，使之对曲线具有调控能力和局部修改能力。

定义1 设f（t）为［0，1］中的连续函数，若f（t）满足：

且满足［8］f（1－t）＝1－f（t），称f（t）为n阶奇异混合函数。

在计算机辅助几何设计（Computer Aided Geometric Design，简称CAGD）中最常用的是三次参数曲线，所以本文主要讨论三次奇异混合双曲Bézier曲线的一些性质。给定空间一组控制顶点｛P0，P1，P2，P3｝，双曲 Bézier曲线的表达式［6］为：

定义2 设f（t）为奇异混合函数，且令f（t）＝1－f（t），则称

为奇异混合双曲 Bézier曲线。其中，P0、P1、P2、P3为控制顶点；P（t）＝（t）Pi；ω1、ω2为不同时为0的实数。对该式展开得：

性质2 线性无关性。如果存在一组实数a0，a1，a2，a3，使得：

则可得a0＝a1＝a2＝a3＝0。

证明 假设存在一组不为0的a0，a1，a2，a3，使得Hi，3（t，ω1，ω2）＝0。当t＝0时，可得a0ω1＋a1（1－ω1）＝0；当t＝1时，可得a4ω2＋a3（1－ω2）＝0。

性质3 端点性质。

性质4 对称性。

证明 由奇异混合函数的性质可证［7］。

性质5 非负性。

证明 由奇异混合函数的性质［8］得：0≤f（t），f（t）≤1。由已知条件0≤ω1，ω2≤1可得：

不妨设ω1≥ω2，则有：

同理可证

所以性质5成立。

性质6 当ω1＝ω2＝1时，奇异双曲Bézier曲线基退化成双曲Bézier曲线基。

当l＝1，奇异混合函数f（t）＝2t3－3t2＋1时，ω1、ω2取不同值时的图形如图1所示。

图1 ω1、ω2取不同值时曲线基图像

从图1可以看出，当ω1、ω2取不同值时，曲线的形状会发生改变，当ω1、ω2越接近1时，曲线的基越接近双曲Bézier曲线的基。

2 奇异混合双曲Bézier曲线

奇异混合双曲Bézier曲线的表达式在定义2中已经给出，其中｛P0，P1，P2，P3｝是控制顶点。奇异混合双曲Bézier曲线的性质如下。

性质7 对称性。当参数ω1、ω2给定，由控制顶点｛P0，P1，P2，P3｝控制的W（t，ω1，ω2）和由控制顶点｛P3，P2，P1，P0｝控制的W（t，ω2，ω1）形状完全一样，只是方向相反。

性质8 凸包性。由于奇异混合双曲Bézier曲线的基具有权性和非负性，所以奇异混合双曲Bézier曲线完全在控制顶点｛P0，P1，P2，P3｝的凸包内。

性质9 几何不变性和仿射不变性。因为曲线的基满足权性，曲线仅依赖控制顶点，而与坐标系的选取无关。

控制顶点相同而ω1、ω2取不同值时的奇异混合双曲Bézier曲线如图2所示。当ω1、ω2改变时，曲线的形状随之改变，因此可以通过改变ω1、ω2的值来调控和修改曲线。在分析曲线时，需考虑曲线的端点位置和曲线在端点处的切向量。当t＝0时，曲线经过ω1P0＋（1－ω1）P1；当t＝1时，曲线经过ω2P3＋（1－ω2）P2。

曲线求导可求出各点的切向量，所以t＝0，1时，曲线的切向量分别为：

图2 ω1、ω2取不同值时的奇异混合双曲Bézier曲线

3 曲线的拼接

设2条曲线分别为：

因为C0连续，即W1（1，ω1，ω2）＝W2（0，ω3，ω4），则可得：

控制顶点满足（2）式的条件且当ω2＝0.8，ω3＝0.7时，曲线的C0拼接如图3所示。由图3可以看出，在不同的曲线段，可用不同的形状参数对曲线进行控制。如果把曲线分成很多段，就可以对整个曲线进行调控［9］。

图3 曲线C0拼接图

曲线的C1连续条件为：

因为δ2，2＝δ0，2＝（coshl－l）／（sinhl－l），所以可得：

由（2）式、（3）式综合可得：

ω1＝1，ω2＝0.6，ω3＝0.8、ω4＝1时的C1拼接如图4所示。由图4可看出，图4比图3更加光顺。

图4 曲线C1拼接图

4 曲线的应用

当构成Bézier曲线的基是多项式基时，不能很精确地表示出圆弧、螺旋线、悬链线等超越曲线，所以才有代数Bézier曲线和双曲Bézier的问世。因为双曲Bézier曲线为奇异双曲Bézier曲线的特例，所以用双曲Bézier曲线能够画出的图形，奇异双曲Bézier曲线都能画出，也可以通过拼接画出所要的图像。由3条曲线拼接出来的花瓶母线和四叶草的图形如图5、图6所示。

图5 拼接的花瓶母线

图5自下而上ω1分别取1.0、0.8、0.8，而ω2分别取0.6、0.8、1.0把图中花瓶的母线旋转一周就能得到花瓶。而图6是利用C0拼接，且ω1、ω2均取0.8时的图案。

图6 拼接的四叶草图像

5 结束语

本文在双曲Bézier曲线的控制顶点处引入形状控制参数，对曲线具有局部的修改能力和控制能力。当形状参数都退化为1时就变成双曲Bézier曲线，所以奇异双曲Bézier曲线不仅包含了双曲Bézier曲线的优点，还比双曲Bézier曲线具有更大的灵活性，从而也具有更广泛的实用性。

［1］王国瑾，汪国昭，郑建民.计算机辅助几何设计［M］.北京：高等教育出版社，2001：1－33.

［2］苏本跃，黄有度.CAGD中三角多项式曲线的构造及其应用［J］.合 肥 工 业 大 学 学 报：自 然 科 学 版，2005，28（1）：105－108.

［3］Han Xuli.Quadric trigonometric polynomial curves with a shape parameter［J］.Computer Aided Geometric Design，2002，19（7）：503－512.

［4］刘 植.带多个形状参数的广义Bézier曲线曲面［J］.计算机辅助设计与图形学学报，2010，22（5）：838－843.

［5］邬弘毅，夏成林.带多个形状参数的Bézier曲线曲面的扩展［J］.计 算 机 辅 助 设 计 与 图 形 学 学 报，2005，17（12）：2607－2612.

［6］王 媛，康宝生.代数双曲混合 H－Bézier函数及其性质［J］.西北大学学报：自然科学版，2006，36（5）：693－697.

［7］张锦秀，檀结庆.代数双曲Bézier曲线的扩展［J］.工程图学学报，2009，6（1）：31－38.

［8］Loe K F.áB－spline：a linear singular blending B－Spline［J］.The Visual－Computer，1995，12（1）：18－25.

［9］刘 植.带形状参数的C2四次样条曲线［J］.合肥工业大学学报：自然科学版，2004，27（10）：1311－1313.

Research on singular blended H－Bézier curves

HE Min， HUANG You－du
（School of Mathematics，Hefei University of Technology，Hefei 230009，China）

The singular blending function，which has two shape parameters with the control ability on the curve，is introduced into the hyperbolic Bézier（H－Bézier）curve.The basis function of singular blending H－Bézier curve as well as its properties are pointed out.The controlling ability and modification ability of shape parameter on curve base are illustrated through graphics，which has important significance to computer aided geometric design（CAGD）.As a new geometric design method，it can be widely used in CAD／CAM.

hyperbolic Bézier（H－Bézier）curve；singular blending function；transcendental curve；computer aided geometric design（CAGD）；smooth joining

TP391

A

1003－5060（2013）02－0253－04

10.3969／j.issn.1003－5060.2013.02.026

2012－03－31；

2012－06－04

何 敏（1988－），男，安徽合肥人，合肥工业大学硕士生；

黄有度（1949－），男，广西贺县人，合肥工业大学教授，硕士生导师.

（责任编辑 闫杏丽）