浅谈高等数学知识在概率论中的应用

崔冬玲

（淮南师范学院 数学与计算科学系，安徽 淮南 232038）

浅谈高等数学知识在概率论中的应用

崔冬玲

（淮南师范学院 数学与计算科学系，安徽 淮南 232038）

通过具体的实例总结极限、导数、积分、级数在概率论中的应用，从而体现出高等数学知识在概率论中的地位和作用.

积分；极限；数字特征；中心极限定理

高等数学和概率统计这两门课是理科专业的两门非常重要的基础课，同时也是本科学生考研的两门必备课.特别是概率统计，它具有实践性强、所涉及内容广、学习难度大等特点.如何将其教好、学好是老师、同学所共同关心的问题.解决此问题的一个重要途径就是发挥好高等数学在概率论中的理论和工具作用.

下面从两个方面说明极限、导数、积分、级数在概率论中的应用.

1 高等数学知识在概率论中的理论应用

概率论中的许多定义、定理均以高等数学知识作为基础：

1.1 随机事件的研究方法就是将集合赋予了概率论的含义，事件之间的运算实则为集合之间的运算.运用最广泛也是最重要的一种运算律为摩根率：

1.2 连续型随机变量的概率密度与分布函数间的关系以及部分相关性质将变上限积分的求导问题、偏导数的概念、极限等知识发挥得特别充分.

例如：

（1）一维随机变量的概率密度f(x)与分布函数F(x)间的关系：

（2）二维随机变量的联合概率密度f(x,y)与联合分布函数F(x,y)间的关系：

若(X,Y)：f(x,y)，则

（3）对于连续性随机变量X有P{X=a}=0，它的证明是利用了函数的连续性.

1.3 随机变量的数字特征，无论是一维随机变量还是二维随机变量，其方差、协方差、相关系数等，最后都转化为期望来计算，而期望的定义是利用级数的绝对收敛和反常积分的绝对收敛得来的.

例如：

（1）随机变量X的分布律为P{X=(-1)j+1，j=1,2,3…，则，此级数不是绝对收敛的，根据期望的定义，E(X)是不存在的.

1.4 大数定律与中心极限定理无论是定理本身还是定理的证明都将极限的作用发挥得淋漓尽致.

例如：辛钦大数定律的证明，其中关键性的一步运用了极限收敛准则中的两边夹定理最后得出结论，即

2 高等数学知识在概率论中的实际应用

在概率论中，已知一维连续性随机变量的概率密度来求分布函数，数字特征；已知二维随机变量的联合概率密度求边缘概率密度、条件概率密度、分布函数以及数字特征等问题，定积分与二重积分发挥了计算工具的重要作用.有的题目在求解的过程中，其实概率论的知识比较简单，无非是公式，定理的应用，而题目难就难在积分的计算上，特别是伽马函数Γ(r)=及其相关结论：

此题分析思路非常简单，就是一个期望的公式，但计算比较复杂，幸好用了伽马函数，这样解决起来比较方便.

此题从分析思路和计算的角度来讲都不难，就是二维随机变量数学期望的公式和计算二重积分，但利用伽马函数比用分部积分计算要更简单.

3 小结

可以说，概率论就是用高等数学的知识作为基础和工具来解决问题的一门学科，特别是定积分、反常积分、二重积分等知识的熟练应用，能大大提高同学学习概率论的学习效率.

〔1〕盛骤，等.概率论与数理统计（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2009.

〔2〕同济大学数学系.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2008.

O13；O24

A

1673-260 X（2013）10-0006-02