数列极限“ε-N”定义的教学组织

赵萨日娜

（长春建筑学院，吉林 长春 130618）

数列极限“ε-N”定义的教学组织

赵萨日娜

（长春建筑学院，吉林 长春 130618）

数列极限对建立函数的各种极限形式有重要的引领作用.本文用形式逻辑思维和辩证逻辑思维，从四个有机关联的层面对数列极限“ε-N”定义的教学进行组织.

极限；数列极限；定义；辩证逻辑；思维

极限理论是高等数学的理论基础，极限概念是极限理论的基石.数列极限是最简单最基本的极限形式，它对建立函数的各种极限形式有着极为重要的先行、引领作用.组织好数列极限“ε-N”定义的教学对整个极限理论的概念教学是十分重要的.本文用形式逻辑思维、辩证逻辑思维从四个有机关联的层面对数列极限“ε-N”定义进行教学组织.

1 极限方法

1.1 引例：求半径为R的圆面积S

作法的基本思想：用恩格斯提出的“在一定条件下直线和曲线应当是一回事”的辩证逻辑思维，在局部范围“以直代曲”，即刘徽的割圆术.

（1）把圆周n等分，形成圆内接正n边形；每边边长为ln，边心距为Rn，形成n个以R、ln为边的小三角形.（如图1）

图1

（3）让n无限增大，记成n→∞.很显然，n→∞时，Sn将无限趋近于圆面积S，记作Sn=S(lim是“limit”的缩写，表示极限的意思)；当n→∞时，内接正n边形的周长nln无限接近于圆周长l=2πR，边心距Rn无限接近半径R，得到

1.2 极限方法

用辩证逻辑，把概念、推理、判断都看作是一种运动着的东西来思考，对引例做一般化总结：要确定某一个量（真值），首先找到它的一连串越来越精确的近似值，之后考察这一连串近似值的变化趋向，把那个量的精确值确定下来，这种方法就是极限方法.简言之，极限方法就是从有限到无限、从近似到精确的方法.

2 数列极限“ε-N”定义的形式

2.1 数列极限的描述性定义

从极限方法出发，容易给出数列极限的直观描述性定义.

定义1设有数列{xn}：x1,x2,x3,…,xn,…，如果当n无限增大时，xn趋近于某一个定常数a，则称数列{xn}当n→∞时以a为极限，记为xn=a或xn→a(n→∞时).

描述性定义是从直观给以定性的描述，根本弱点是缺乏定量分析，理论发展和实际应用需要把极限概念加以精确化，深化数列极限定义.

2.2 数列极限的“ε-N”定义

剖析描述性定义，所谓数列{xn}当n→∞时以定常数a为极限，意即“当n充分大时，xn与a可以任意接近，要多近就能有多近”，等价于“当n充分大时，|xn-a|可以任意小，要多小就能有多小”，就是说：“要|xn-a|有多小，只需n增大到一定程度后，就能有多小”.数列极限的精确定义，就是把这层意思数量化的确切表示出来.看一个例子：考察数列，从描述性定义易知它以零为极限.要多小，只要n增大到一定程度后，就能有多小.

定义2 设有数列{xn}，如果存在定常数a，对任意给定的正数ε（不论它有多么小），总存在着正整数N，使得当n>N时，不等式

都成立，那么就称a是数列{xn}的极限，或者称数列{xn}收敛于a，记为

如果不存在这样的常数a，就称数列{xn}没有极限，或说数列{xn}发散.

2.3 对“ε-N”定义的分析

（1）定义反映了通过有限去认识无限的辩证逻辑思维.xn趋近于a的过程是一个无限接近的过程.但实现这个过程的每一步接近都是有限的；|xn-a|接近零的过程是无限变小的过程，但每一次变小的过程都是通过有限形式表达的.正是这无限个有限变小的形式完成了|xn-a|趋于零的无限变小的过程.

（2）定义中的ε扮演了体现极限方法的重要角色，它有给定和任意的二重性，把数列极限的无限变化做到了静和动的统一.给定ε一个值，形成一个静态的不等式|xn-a|<ε，确定一个对应的N；任意给定ε，形成一系列静态不等式|xn-a|<ε，确定一系列对应的N，这一系列的不等式|xn-a|<ε和N的对应变化构成了动态的极限过程，完成了从有限到无限，从近似到精确的深化.这种从静到动的过程反映的是“变量静态下的形式逻辑思维规律”.

（3）定义中的N不唯一，一般说来ε越小，对应的N越大，N依赖于ε的取值，常记作N=N(ε).

（4）从几何上看，数列{xn}对应于数轴上一串点，|xn-a|<ε表示点xn与a的距离小于ε.任意给定了正数ε，在数轴上做以a为中心长为2ε的开区间xn-εN时，|xn-a|<ε成立，表示下标大于N的一切点xn，都将进入开区间a-ε

图2

3 数列极限“ε-N定义的应用举例

证明 对于任意给定的正数ε，欲使|xn-a|=，只要n>.

4 数列极限“ε-N”定义的拓展性

数列极限“ε-N”定义的数量关系形式上看是两个正数ε、N，两个不等式，n>N的逻辑关系.其中ε和是数列取值变化的标志，N和n>N是自变量取值变化的标志.

对一元函数的极限形式一般分为下列6类共24种：

但无论是哪种形式的定义，也都是两个正数、两个不等式的辩证逻辑关系.其中一个正数是函数变化的标志，对应着相关于函数的一个不等式，另一个正数是自变量变化的标志，对应着相关于自变量的一个不等式，如，就是两个正数 ε、δ及与之对应的两个不等式的逻辑关系.实质上，这都与数列极限“ε-N”定义的形式是一致的，所以把握好数列极限“ε-N”定义的形式及内涵，按着形式逻辑的规则，进行触类、联想、拓展，很容易得到函数极限各种形式的定义.

〔1〕吉林大学数学系.数学分析.北京人民教育出版社，1978.

〔2〕T.M.菲赫金哥尔茨.微积分学教程第一卷第一分册.北京人民教育出版社，1980.

〔3〕同济大学应用数学系.高等数学.北京高等教育出版社，2004.

〔4〕蔺云.辩证逻辑思维及其常量与变量互易法—微积分教学方法的探索与研究[J].数学教学研究，2008（4）.

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1673-260 X（2013）10-0008-02