IT创新实验班卡诺图的教学研究与分析

王华本，鹿建银，史先桂，朱良月

（安徽新华学院，安徽合肥230088）

IT创新实验班卡诺图的教学研究与分析

王华本，鹿建银，史先桂，朱良月

（安徽新华学院，安徽合肥230088）

本文介绍了卡诺图化简逻辑函数的原理，方法和步骤，指出用卡诺图化简逻辑函数在分析和设计逻辑电路中的灵活应用.

数字电路；卡诺图；化简方法；逻辑函数

安徽新华学院从2010年开始，依托于省级质量工程项目：IT服务外包应用型人才培养模式创新实验区成立了IT创新实验班，以下称为特色班，也就是计算机课程教学改革的先锋班，如果改革成功了，以后计算机的课程改革就水到渠成了，在这种大环境的支撑下，各门课程开始打破传统的教学方法，本文以《数字逻辑》电路中卡诺图的教学方法改革为例来探讨卡诺图的教学.

卡诺图是一种重要的化简工具，广泛应用于数字逻辑电路，是贯穿整个数字逻辑电路的核心内容，如果不能熟练灵活地掌握，对整个学习过程是一个很大的障碍.在学习卡诺图化简逻辑函数时候，要注意总结得到规律，从而简化整个学习过程.卡诺图化简法不需要特殊的技巧,也不必熟记各种逻辑代数公式,只要遵循一定的规则就能得到化简结果.而代数法化简逻辑函数即没有固定的方法和步骤，也没有函数式是否化到最简的判别方法，就像是在黑暗中摸索，很难掌握其中的技巧.卡诺图又称为K图，是以图形化的形式表现出来的，它是类似于真值表的一种表示，这里要求变量的排列一定要按格雷码排列，相邻代码之间只能有一个变元，目的是作为一对互反变量消去.整个化简过程是在图中操作的，直观地表示出来结果，操控性很强，用卡诺图化简逻辑函数的优越性就可以充分地体现出来，利用卡诺图可以快速化简逻辑函数.并且很容易判断函数是否是最简式.

1 卡诺图化简逻辑函数的基本原理

要想把知识熟练地掌握，必须能够寻源究底，把其内部的实质挖掘出来，学习卡诺图化简逻辑函数的方法也是同样的道理.卡诺图是逻辑函数的一种更直接、简单、明了的图形化表示.其根源一是变量排列遵循循环码，循环码是按照镜面映射原理来分布的；二是消去相邻项变量；三是相邻项包括物理相邻和逻辑相邻，这里的相邻是指卡诺图的相邻小方格只要一个变元.一个逻辑函数的卡诺图就是将此函数的最小项表达式中的各最小项相应地填入一个方格图内，这里面要注意的是每个小方格上面变量的排列遵循格雷码的，此方格图称为卡诺图.卡诺图的构造特点使卡诺图具有一个重要性质：可以从图形上直观地找出相邻最小项，并消去互反变量.

用卡诺图化简逻辑函数的基本原理：主要是利用卡诺图的相邻性，对相邻最小项进行合并，以消去互反变量.若是有2个相邻的最小项合并，可以消去1个变量；若是4个相邻的最小项合并，可以消去2个变量；若是8个相邻的最小项合并，可以消去3个变量.总之，若是2 n个相邻的最小项合并，则可以消去n个变量.卡诺图的相邻性包括三重含义：第一是紧挨相邻也就是最小项是实实在在的相邻，有时候也可以理解为物理相邻；第二是相对相邻，因为卡诺图上面的变量排列是遵循格雷码的，所以卡诺图上面相对的最小项是相邻的，有时候也可称为逻辑相邻；第三是相重相邻，如果把整个卡诺图进行折叠的话，能够重合的，称为相重相邻，也可以称之为逻辑相邻.用卡诺图化简逻辑函数关键就是找相邻项，并进行合并已达到消互反变量的目的.

2 用卡诺图化简逻辑函数步骤

如果要想利用卡诺图化简逻辑函数，必须先把逻辑关系等效转换到卡诺图中，然后才能利用卡诺图的规律进行函数的化简，也就是把逻辑依据和图形特征结合起来，通过把卡诺图上表征相邻最小项的相邻小方格“圈”在一起进行合并，达到用一个简单“与”项代替若干最小项的目的.现在分为四个步骤来描述用卡诺图化简逻辑函数的具体过程.

2.1 画卡诺图

根据给定的逻辑函数确定变量的个数，然后画出相应的卡诺图，注意卡诺图上变量的排列一定遵循格雷码，也就是相邻代码之间只有一个变元，画卡诺图关键就是要逻辑关系对等到卡诺图中.

方法一：将真值表中F=1的项转换到对应的小方格中；

方法二：将逻辑函数化为标准的与或表达式，如（1）式为原函数表达式：

把F先化为标准的与或表达式，如（2）式所示：

方法三：用补齐因子或观察法填写卡诺图中对应的小方格.

先用补齐因子的方法填写卡诺图，如式（3）所示：

然后再根据观察法可以直接填写卡诺图.这种方法比较简单，千万注意变量的排列要按照循环码的规则来进行.

2.2 找相邻项

第一种相邻：紧挨相邻，就是把物理上相邻的最小项先找到，也就是实实在在的相邻.也可以认为是物理上相邻.

第二种相邻：相对相邻，即卡诺图中某行或某列的两头的最小项；也可以认为是逻辑上相邻.

第三种相邻：相重相邻，即对折起来位置重合的最小项.可以认为是逻辑上相邻.

2.3 画卡诺圈

对卡诺图中有“1”的方格画相邻区域圈并遵循画圈的三条规则：

规则一：“多”，即每个卡诺圈中所包围的小方格的个数要越多越好，因为越多说明可以合并的变量的个数也就越多，函数每一项的变量也就越少，即函数表达式也就越简单.这里面的“多”是有条件限制的，必须要求卡诺圈中所包围小方格的个数一定要是2 n个；

规则二：“少”，即卡诺圈的个数越少越好，卡诺圈的个数越少就说明函数表达式的项数越少，即函数表达式也就越简单；

规则三：“新”，即每个卡诺圈中必须要有新的最小项被包围.如果没有新的最小项被包围，所画的卡诺圈实质上就是一个冗余圈，对于化简逻辑函数，我们当然以化为最简单的函数为目的的，所以这个“新”体现了用卡诺图化简逻辑函数一个很重要的特性.

画卡诺圈是使用卡诺图化简逻辑函数最关键的部分，只要按照上面所总结的三个字：“多”“、少”、“新”来画卡诺圈，应该能够很快速、准确地画出最简单逻辑函数的所对应的卡诺圈.

2.4 写出结果

将每个圈中的公有变量因子找出来，得到对应的“与”项，并把各个圈得到的与项相加起来，便得到化简后的最简与或表达式.

3 卡诺图的灵活运用

卡诺图是化简逻辑函数的工具，在化简逻辑函数中起到很重要的作用，特别是在设计时序逻辑电路时候能使电路中各变量之间的关系变得非常清楚、明了和直观.

例1 三变量逻辑函数Y的真值表如表所示，用卡诺图进行化简.

解 (1)画卡诺图：

将真值表中F=1的项转换到对应的小方格中，如图1所示：

(2)找相邻项：紧挨相邻，两个最小项；相对相邻，包括4个最小项.

图1 函数关系从真值表转到卡诺图

(3)画卡诺圈：只要根据对应关系很容易找到最小项，画卡诺圈也就轻而易举了.

(4)写出结果：按照上面的步骤很容易，写出最后的化简结果如（4）式，F=+A B（4）

只要按照上面所总结出的四部曲，很容易化简逻辑函数.

例2 将函数F=∑M(0,2,3,8,9,19,11,14,15)用卡诺图进行化简.

解 (1)画卡诺图：将标准的与或表达式，最小项填1

(2)找相邻项：紧挨相邻；相对相邻；相重相邻

(3)画卡诺圈：如图2示：

图2 画好卡诺圈后卡诺图

例3 化简函数

解 方法一：先使用分配律，把原式（6）变为（7）式

用卡诺图进行化简，首先用观察法找到每个与项，再画卡诺圈.然后把逻辑关系转移到卡诺图中，发现最小项包含所有的小方格，很明显：就是一个大圈覆盖16个小方格，即F=1.

方法二：用代数法化简

两种方法中可以比较出用卡诺图进行化简：简单、快速、准确，并且很容易判断出化简后的函数是不是最简单的，很容易判断结果的对错；公式法化简繁琐，一直在黑暗中摸索，最后函数是不是最简单的不容易判断出，可以看出公式法化简的弊端很明显地体现出来了.下面我们讨论在设计组合逻辑电路中的使用卡诺图的优势.

例4 根据如表1所示真值表，设计一个组合逻辑电路，其中A、B为输入；X、Y为输出；C为控制端.

表1 真值表

(1)画卡诺图：很容易把表1中的逻辑关系转移到卡诺图中.

(2)写函数表达式：写出标准的与或逻辑表达式如式（9）（10）所示：

(3)用卡诺图化简：再根据用卡诺图化简逻辑函数的步骤很容易得出最简式（11）、（12）

(4)设计电路：最后根据用卡诺图化简所得到的最简逻辑函数（11）（12），画出最后的组合逻辑电路图.

用卡诺图化简逻辑函数时候，我们是有一套规则的，但在实际使用的时候，不能机械地按规则来，而是根据实际情况灵活使用，如下面我们来设计实际时序逻辑电路用卡诺图化简时候就要同时考虑到JK触发器的特征方程，要能找到所化简的触发器的次态方程与特征方程的对应关系，而不是盲目地按规则进行化简.

例5 用JK触发器设计一个按自然态序变化的7进制同步加法计数器.

解 根据题意画整体卡诺图，如图3所示：

从整体卡诺图中可以分离出四个单张卡诺图，分别是三个触发器Q0、Q1、Q2和一个输出Y，根据四个单张卡诺图很容易写出函数表达式（13）（14），这里特别注意的是写函数表达式（13）时候一定要和JK触发器的特征方程（15）要一一对应，目的是为得出每个触发器的驱动方程如式（16）所示.最后我们根据式（14）（16）就可以很容易画出题

图3 整体卡诺图

目所要求的电路图.

用卡诺图化简逻辑函数远远优越于用代数法化简逻辑函数，卡诺图较直观，明了，而代数法烦琐，稍微不留神，很容易出错.但是用卡诺图化简逻辑函数也有局限性，当变量个数大于6时，画图以及对图形的识别都变得相当复杂.通常情况下，用卡诺图对5变量以下的函数进行化简尤其得心应手.当然卡诺图在其他方面还有更广泛的应用，我们在学习的过程中应该好好体会.

4 结语

卡诺图化简法又称为图形化简法.卡诺图化简法的优点是简单、直观，有一定的化简步骤可循，不易出错，且容易化到最简并使得解题过程更迅速,更准确,更方便,使原本较复杂的问题得到简化.因而用卡诺图化简逻辑函数在实际分析与设计电路中得到了广泛的应用.在教学过程中要注重培养学生的概括能力，学习一个新的知识点时候，一定要善于总结，用自己的语言简明扼要的进行概述，这样所学知识才能变为灵活应用.

〔1〕秦曾煌.电工学（第六版）——电子技术（下册）[M].高等教育出版社.

〔2〕唐介.电工学[M].高等教育出版社.

〔3〕叶挺秀.电工电子学[M].高等教育出版社.

〔4〕孙骆生.电工学基本教程（第三版）（下册）[M].高等教育出版社.

〔5〕阎石.数字电子技术基础[M].高等教育出版社.

G712

A

1673-260X（2013）03-0232-03

项目来源：安徽新华学院省级质量工程项目：IT服务外包应用型人才培养模式创新实验区(2009zcpys01)