关于PFI代数的MP滤子

2013-07-07刘春辉

赤峰学院学报·自然科学版 2013年1期

关键词：春辉蕴涵充分性

刘春辉

（赤峰学院教务处，内蒙古赤峰 024000）

关于PFI代数的MP滤子

刘春辉

（赤峰学院教务处，内蒙古赤峰 024000）

在文[15]的基础上,对Fuzzy蕴涵代数的滤子理论作进一步的研究,讨论满足条件(P)的Fuzzy蕴涵代数(简称PFI代数)中MP滤子相关性质.获得了PFI代数中MP的若干等价刻画;证明由非空集合生成的MP滤子的一个新的表示定理.

模糊逻辑；Fuzzy蕴涵代数；PFI代数；MP滤子；生成MP滤子

1 引言和预备

非经典数理逻辑[1]的一个重要的研究方向是对有关逻辑代数系统的研究.迄今为止,人们已基于不同的蕴涵算子提出了多种逻辑代数系统并详细地研究了它们的性质[2-7].合适的代数方法在非经典逻辑问题处理中发挥着重要作用.文献[8]中引入的Fuzzy蕴涵代数(简称:FI-代数)逻辑蕴涵连接词的代数化,它揭示蕴涵算子的共同性质.非经典逻辑中众多的逻辑代数系统,诸如MV-代数,BL-代数,格蕴涵代数, R0-代数以及剩余格代数等,都可以看成FI代数的特例,因而对FI代数的研究具有广泛而基本的重要意义,近年来,人们对这一代数结构已做了大量细致的研究工作[9-12].

在对各种逻辑代数的研究中,滤子和理想是两个重要的概念和工具,它们在反映代数系统自身特性,尤其是在对代数系统完备性的讨论中发挥着重要作用.各种代数系统中滤子的性质及其应用已得到广泛的研究[13-16].为了进一步揭示FI代数特性,在文[15]的基础上,讨论满足条件(P)的FI代数(简称PFI代数)中MP滤子的性质,获得了一些有意义的结果.

定义1.1[8]称型代数（X，→,0)为Fuzzy蕴涵代数,简称FI代数,若∀x,y,z∈X有

(I1)x→(y→z)=y→(x→z);

(I2)(x→y)→((y→z)→(x→z))=1;

(I3)x→y=1;

(I4)x→y=y→x=1⇒x=y;

(I5)0→x=1.其中1=0→0.

文献[8],在FI代数中定义了一个偏序≤:x≤y⇔x→y=1.另外还定义了元素x的伪补x(x)=x→0.若(X,→,0)是FI代数,且∀x∈X,xx(x)=x,则称是正则FI代数.

定义1.2[10]称FI代数)X,→,0)具有性质(P),若∀x,y∈X, A(x,y)的最小元minA(x,y)存在,其中A(x,y)={z∈X|x≤y→z}.并称具有性质(P)的FI代数为PFI代数.

为方便起见,记x⊙y=minA(x,y),显然⊙定义了X上的一个适合交换律的二元运算.易知正则FI代数必为PFI代数,下面的例子说明PFI代数不必是正则FI代数,从而PFI代数是一类强于FI代数而又弱于正则FI代数的模糊代数结构.

例1.1设X={0,a,b,c,d,1},在X上定义二元运算→如表1所示,此时⊙的定义如表2:

表1 运算→的定义

表2 运算⊙的定义

则可以验证(X,→,0)是一个PFI代数,但它显然不是正则FI代数.

引理1.1[8,11]设(X,→,0)是一个FI代数.则∀x,y,x∈X有

(1)x≤1且1→x=→

(2)如果x≤y,则z→x≤z→y且y→z≤x→z;

(3)x≤(x→y)→y;

(4)如果x≤y且y≤z,则x≤z.

(5)c(0)=1,c(1)=0;

(6)x≤cc(x),ccc(x)=c(x);

(7)如果x≤y,则c(y)≤c(x);

(8)(y→z)→((x→y)→(x→z))=1.

引理1.2[10]设(X,→,0)是一个PFI代数,则∀x,y,z∈X有

(1)x≤y→x(x⊙y)且x⊙(x→y)≤y;

(2)(x→y)⊙(y→z)≤x→z;

(3)(x⊙y)→z=x→(y→z);

(4)x⊙y≤z⇔x≤b→c;

(5)x⊙1=x;

(6)a≤b⇒a⊙c≤b⊙c;

(7)(x⊙y)⊙z=x⊙(y⊙z).

2 PFI代数的MP滤子

定义2.1[15]设(X,→,0)是一个FI代数,Ø≠F⊂X.如果∀x,y∈X都有

(MF1)1∈F;

(MF2)x,x→y∈F⇒y∈F,

则称F是X的MP滤子.

注2.1(1)设(X,→,0)是FI代数,则易见{1}和F都是X的MP滤子;

(2)设(X,→,0)是FI代数且F是X的MP滤子,则∀x,y∈X,当x∈F且x≤y时必有y∈F,即F是一个上集;

(3)设(X,→,0)是PFI代数且F是X的MP滤子,则∀x, y∈F⇒x⊙y∈F,即F对⊙是封闭的.事实上,设x,y∈F,任取z∈A(x,y),则x≤y→z,于是由x∈F和(2)知y→z∈F,再由y∈F,便得z∈F,由z的任意性以及x⊙y∈A(x,y)便得x⊙y∈F.

下面给出PFI代数中MP滤子的一些特征定理.

定理2.1(MP滤子的特征定理1)设(X→,0),是一个PFI代数且Ø≠F⊂X,则F是X的MP滤子当且仅当F为上集且对⊙运算封闭.

证明“必要性”:由注2.1的(2)和(3)显然.

“充分性”:∀x,y∈X,设x∈F且x→y∈F,则由F对⊙封闭得x⊙(x→y)∈F.又

故x⊙(x→y)≤y,从而由F为上集得y∈F.所以(MF2)成立.再由F≠Ø⊂X和F为上集又知1∈F,即(MF1)也成立.因此由定义2.1知F是X的MP滤子.

定理2.2(MP滤子的特征定理2)设(X→,0)是一个PFI代数且Ø≠F⊂X,则F是X的MP滤子当且仅当F满足(MF1)和

(MF3)∀x,y,z∈X,如果x→y∈F且x⊙z∈F,则y⊙z∈F.

证明“必要性”:设F是X的MP滤子,则(MF1)成立.现在设x→y∈F且x⊙z∈F,则由定理2.1知(x→y)x⊙z∈F.因为由引理1.2(1)知x⊙(x→y)≤y,故由引理1.2(6)及⊙满足交换律可得(x→y)⊙x⊙z≤y⊙z,因此由F为上集便得y⊙z∈F,即(MF3)成立.

“充分性”:假设F满足(MF1)和(MF3),则为证F是X的MP滤子,由定义2.1只需证F满足(MF2)即可.事实上,设x∈F且x→y∈F,则由引理1.2(5)知x⊙1∈F且x→y∈F,因此由(MF3)和引理1.2(5)便得y=y⊙1∈F,因此(MF2)成立.

定理2.3(MP滤子的特征定理3)设(X,→,0)是一个PFI代数且Ø≠F⊂X,则F是X的MP滤子当且仅当∀x,y∈F⇒↑(x⊙y)⊂F.其中↑(x⊙y)={z∈X|x⊙≤z}.

证明“必要性”:设F是X的MP滤子,则由定理2.1知F为上集且F对⊙封闭.于是如果x,y∈F,则x⊙y∈F.现在任取z∈↑(x⊙y),则(x⊙y)≤z,于是由F为上集便得z∈F.由z的任意性得↑(x⊙y)⊂F.

“充分性”:假设F满足∀x,y∈F⇒↑(x⊙y)⊂F,则显然x⊙y∈F,即F对⊙封闭.故由定理2.1知要证F是X的MP滤子,只需说明F为上集.事实上,∀x,y∈X,设x∈F且x≤y,而由已知条件显然1∈F,所以有x∈F且x→y=1∈F,从而↑(x⊙(x→y))⊂F,而由引理1.2(1)知x⊙(x→y)=(x→y)⊙x≤y,所以y∈↑(x⊙(x→y))⊂F,即F为上集.

定理2.4(MP滤子的特征定理4)设(X,→,0)是一个PFI代数且Ø≠F⊂X,则F是X的MP滤子当且仅F满足(MF1)和

(MF4)∀x,y∈X,∀k,l∈⊙+,若xk→(y→z)∈F且xl→y∈F,则xk+l→z∈F.其中x1=x,x2=x⊙x,xn+1=xn⊙x,n∈⊙+.

证明“必要性”:假设F是X的MP滤子,则(MF1)成立.∀x,y,z∈X,∀k,l∈⊙+,设xk→(y→z)∈F且xl→y∈F.因为引理1.2(1)和(6)有

(xl→y)⊙xk+l=(xl→y)⊙xk⊙xl=(xl→y)⊙xl⊙xk≤y⊙xk,

于是再由引理1.1(2)便得y⊙xk→z≤(xl→y)⊙xk+l→z,进而有

(y⊙xk→z)→((xl→y)⊙xk+l→z)=1,

因此利用引理1.2(3)得

(xk→(y→z))→((xl→)→(xk+l→z))=(y⊙xk→z)→((xl→y)⊙xk+l→z)

=1∈F,

所以由xk→(y→z)∈F和F是X的MP滤子得(xl→y)→(xk+l→z)∈F,xl→y∈F再由便得xk+l→z∈F,即(MF4)成立.

“充分性”:假设满足(MF1)和(MF4),则为证F是X的MP滤子,由定义2.1只需证F满足(MF2)即可.事实上,设x∈F且x→y∈F,则由引理1.1(1)知1→(x→y)=x→y∈F且1→x=x∈F,于是由(MF4)得11+1→y∈F.故y=1→y=1⊙1→y=12→y∈F,这说明满足(MF2),从而F是X的MP滤子.

设(X,→,0)是PFI代数,一般情况下,偏序集(X,≤)不构成格,但当它构成∧-半格时有:

定理2.5(MP滤子的特征定理5)设(X,→,0)是一个PFI代数,(X,≤)构成∧-半格且Ø≠F⊂X,则F是X的MP滤子当且仅当F对⊙封闭且满足

(MF5)∀x,y∈X,如果x∧y∈F,则x∈F且y∈F.

证明“必要性”:设F是X的MP滤子,则由定理2.1知F对⊙封闭且F为上集.又因为(X,≤)构成∧-半格,所以∀x, y∈X,x∧y都存在,故由F为上集知当x∧y∈F时必有x∈F且y∈F,因此必要性成立.

“充分性”:假设F对⊙封闭且满足(MF5),则由定理2.1知为证F是X的MP滤子,只需证明F为上集即可.事实上,∀x,y∈X,由(X,≤)构成∧-半格知x∧y存在,故如果x∈F且x≤y,则x∧y=x∈F,从而由(MF5)得y∈F,即F为上集.

利用体视显微镜或金相显微镜观察分析剪切破坏后的焊接连接面的表面状态，以评估焊接质量，分析强度值形成原因。