对反散射方法所得S-G方程解的数值模拟

史 伟，曹建莉

（河南工业大学 理学院，河南 郑州 450001）

对反散射方法所得S-G方程解的数值模拟

史 伟，曹建莉

（河南工业大学 理学院，河南 郑州 450001）

本文采用反散射方法得到给定初始值的条件下S-G方程的解，再利用maple软件编程选取适当的参数得到解的数值模拟.

S-G方程；反散射方法；maple软件

S-G方程是数学物理领域中的热点方程，反散射方法是孤立子理论中的一种经典方法，得到了广泛的应用[1-3]，而与数学软件的结合却是近几年的事[4].本文讨论在给定初始条件q(x,t)|t=0=q(x),r(x,t)|t=0=r(x)时S-G方程的解，首先求出以初始条件中q(x)，r(x)为位势的方程（1）的散射数据，然后求出当q(x,t)，r(x,t)作为S-G方程解的时候，其相应的散射数据随时间的变化规律，最后由T-L-M积分方程组，根据散射数据来恢复q(x,t)，r(x,t)，最后用maple软件选取适当的参数给出S-G方程解的数值模拟.

1 S-G方程

首先考察一般特征值问题

其中q=q(x,t),r=r(x,t)，并设φ1,φ2随时间t的演化规律为

其中A，B，C是x，t，ξ的函数，并设ξt=0,由φ1xt=φ1ix,及φ2xt=φ2tx推出A，B，C要满足以下三个方程

将A，B，C取为ξ的多项式

代入(3)并比较ξn+1的系数，得bn=cn=0;比较ξn的系数，可得anx=0,bnx+2ibn-1=-2qan,cnx-2icn-1=2ran.由此定出an=常数及bn-1,cn-1.如此反复，即可定出aj,bj,cj,比较ξ0的系数，给出非线性演化方程.取n=3,用maple软件计算得

（4），（5）中的系数a0,a1,a2,a3均为常数，适当选取这些常数，并取q(x)，r(x)建立关系，方程可约化为：

2 利用反散射方法得到S-G方程的解定义

为S-G特征问题的散射数据.给定散射数据（8）后，再恢复S-G特征值问题（1）中的位势q(x)，r(x).

积分方程（10）的解未必对所有的x都是存在唯一的.例如，当ρ(ξ)=(ξ)=0，上，下平面各有一个特征值λ(Imλ>0(Imλ<0)对应的归一化因子是c，，积分方程化为

用maple解代数方程得

设q(x)，r(x)分别是方程（5），（6），（7）的解，q,r及其导数当|x|→∞时很快趋于零，当t=0时，q=q(x)，r=r(x)，而且以q (x)，r(x)为位势的特征值问题（1）的散射数据为

因此，r=-q为实函数时的n孤子解为

3 利用maple软件作图

用maple软件做图，并选择参数的值代入程序，运行程序得图1.

图1

图2

用maple软件做图，并选择参数的值代入程序，运行程序得图2.

用maple软件做图，并选择参数的值代入程序，运行程序得图3.

图3

图4

用maple软件做图，并选择参数的值代入程序，运行程序得图（4）.

4 总结

计算机科学的发展，使复杂、冗长的代数计算可以顺利完成，完成了人力所不能及的复杂计算，利用数学软件得到更多的精确解，还可以得到其解的数值模拟.

〔1〕李翊神.特征值问题，散射与反散射理论.南京大学学报，1987.

〔2〕LiYishen,Chin Ann moth.2(1981),147-156.

〔3〕L.Hormander,Complex Analysis in Several Variables, 1966.

〔4〕马开平.maple高级应用及经典实例.2002.

O241.82

A

：1673-260X（2013）01-0004-03

河南工业研究生创新基金资助（11YJCX 58）；郑州市科技发展计划项目资助（20110306）