（2+1）维Boiti-Leon-Pempinelli方程的精确解

赵艳丽

（成都理工大学工程技术学院 基础部，四川 乐山 614000）

（2+1）维Boiti-Leon-Pempinelli方程的精确解

赵艳丽

（成都理工大学工程技术学院 基础部，四川 乐山 614000）

介绍了求解非线性偏微分方程的方法—(G′/G)-展开法。通过使用该方法，并借助Maple得到了（2+1）维Boiti-Leon-Pempinelli（简称BLP）方程的多种新精确解，其中包括双曲函数解、三角函数解和有理函数解等。

（2+1）维BLP方程；(G′/G)-展开法；扭结孤子解；符号计算

寻找非线性偏微分方程的精确解是研究非线性偏微分方程的非常重要的问题，因为物理领域中的许多现象都可以用非线性偏微分方程来描述。近年来，人们一直在想办法通过直接探讨非线性偏微分方程的准确解的结构来得到它的精确解，已获得了许多求解非线性方程的准确解的方法，例如：双曲正切函数展开法［1-3］、正弦-余弦法［2-3］、指数函数法［3-4］、Hirota's双线性法［5］、Jaco⁃bi椭圆函数展开法［6］、修改的tanh展开法［7］、辅助微分方程［8-10］等，文献［11］提出了(G′/G)-展开法，本文将利用这一方法构造BLP方程的精确解。

1 (G′/G)-展开法

首先，利用一个行波变换 ξ=α(x+y+ct)将非线性偏微分方程

变成常微分方程

下一步，把未知量U展开为含有(G′/G)的幂级数

其中αi(i=0，1，2，…，l)是待定常数，正整数l由平衡方程（2）的最高阶导数项和最高阶非线性项来决定，G满足

由方程（4）的解，我们可以得到关于(G′/G)的下列结果：

其中 A1，A2为任意实数。把方程（3）、（4）代入方程（2），可以得到一组关于(G′/G)的代数方程。合并(G′/G)的同幂次项，令同幂次项的系数为零，可以得到一组关于αi(i=0，1，2，…，l)，α，c的代数方程。借助Maple求解这个代数方程组，得到方程组（2）的精确解。

2 （2+1）维BLP方程的精确解

近年来，数理学家对(2+1)维BLP方程

做了很多研究［12-15］。文献［12-13］采用双曲正切方法，文献［14］采用广义代数方法，文献［15］采用改进的Riccati方程方法，分别得到了方程组（8）的扭结孤子解和行波解。

为了寻找方程组（8）的精确解，引入行波变换ξ=α(x+y-ct)，将方程组（8）转变为常微分方程组

对方程组（9）的第一个方程积分两次，忽略积分常数，得

把方程（10）代入方程组（9）的第二个方程中，得到一个非线性的常微分方程

利用方程（3）和方程（4），在方程（11）中，平衡φ″和φ3，得l=1。因此，

将（12）式代入（11）式，令所有(G′/G)的同幂次的系数等于零，得到下列关于a0，a1，α，c的代数方程

借助Maple，求解方程组（13），得到下列几种情形：

其中c为任意常数。

将上述结果代入方程组（8），利用方程（5）～方程（7），得到方程组（8）的下列精确解。

利用情形1，有

（a1）：当 λ2-4μ＞0时，方程组（8）有如下形式的双曲函数解

如果 A1=0，A2≠0，λ＞0，μ=0，由（14），（15）式得u1、v1的另一种形式为

特别地，u1.3是（2+1）维BLP方程的扭结孤子解。

如果 A1≠0，A2=0，λ＞0，μ=0，由（14）、（15）式，u1、v1的另一种形式为

（a2）：当 λ2-4μ＜0时，方程组（8）有如下形式的三角函数解

（a3）：当 λ2-4μ=0时，方程组（8）有如下形式的有理函数行波解

利用情形2～情形6以及方程组（10）和方程组（12）的广义解，可以得到方程组（8）的更多精确解。简单起见，这里不再一一论述。

3 结语

笔者采用 (G′/G)-展开法获得了（2+1）维BLP方程的精确解，这些解包括双曲函数解、三角函数解和有理函数解等。其中的一些结果在不同的系数条件下可以转换为孤子形式，而且对比文献［10-13］，本文的结果更为丰富。

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Exact Solution of（2+1）-dimensional Boiti-Leon-Pempinelli Equation

ZHAO Yan-li
（Foundations Department，Engineering and Technical College，Chengdu University of Technology，Leshan 614000，Sichuan，China）

The(G′/G)-expansion method is brief introduced to solve nonlinear partial differen⁃tial equations.Many exact solutions of the（2+1）-dimensional Boiti-Leon-Pempinelli equation（BLPE）are obtained with this method and with the aid of Maple，these solutions include hyperbolic function solution，trigonometric function solutions and rational function solutions ect.

（2+1）-dimensional Boiti-Leon-Pempinelli equation；(G′/G)-expansion meth⁃od；kink soliton solution；symbolic computation

O175.23

：A

：1673-0143（2013）01-0019-04

（责任编辑：强士端）

2012－12－02

国家自然科学基金资助项目（11271066）

赵艳丽（1980—），女，助教，硕士，研究方向：偏微分方程。