实物期权评估模型中波动率的计算及其敏感性分析

■ 刘小峰

存在不确定性的资产评估一直是评估理论与实务的难点，比如正在申请阶段的专利、处于研制阶段的药品或技术、创作阶段的文化作品和建设初期的在建工程等。对于这些不确定性程度较高的资产，传统评估方法（成本法、市场法和收益法）遭遇到了极大挑战，而期权理论，特别是实物期权理论，则为这类资产价值的评估提供了一种新的视角。实物期权是指附着于企业整体资产或者单项资产上的非人为设计的选择权，即是现实中存在的发展或者增长机会、收缩或者退出机会等。拥有或控制相应企业或资产的个人或组织在未来可以执行这种选择权，并且预期通过执行这种选择权能带来经济利益①该定义引自2011年12月31日中国资产评估协会发布的《实物期权评估指导意见（试行）》。。近年来，实物期权理论在资产评估中的应用得到了快速的发展，同时，实物期权理论在资产评估中的应用也逐步得到规范，2011年12月31日，中国资产评估协会发布《实物期权评估指导意见（试行）》，更是极大地推动了实物期权理论在资产评估中的应用与发展。

实物期权理论在应对不确定性资产价值的评估上具备优势，但模型中的参数取值通常是采取经验判断、随机模拟等方法得到，这使不少人对实物期权方法评估资产价值持谨慎甚至怀疑的态度。为此，本文以常用的B-S模型为例，探讨实物期权模型中的波动率参数的计算与敏感性问题，试图发现波动率取值的一些特点，为实物期权理论在资产评估中的运用提供借鉴。

一、波动率的内涵与特点分析

针对无红利流量情况下欧式期权的价值评估情况，依据B-S模型，共有5个参数需要确定，包括标的资产评估基准日的价值（s）及其波动率（σ）、期权行权价格（x）、行权期限（T）以及无风险收益率（r）。模型形式为：

其中，C和P分别代表欧式买方期权和卖方期权的价值，e-rT代表连续复利下的现值系数，N(d1)和N(d2)分别代表在标准正态分布下变量小于d1和d2时的累积概率，其函数表达式为：

选择B-S模型估算实物期权价值的步骤为：（1）估计有关参数数据，核心是前文提及的5个参数s、σ、X、T和r；（2）计算d1和d2；（3）求解N(d1)和N(d2)；（4）计算买方期权或者卖方期权的价值。

在采用实物期权估算价值的过程中，估算有关参数是最为重要的步骤之一，其中，波动率是实物期权评估模型中非常重要却又很难确定的一个参数。波动率表征的是标的资产对拥有或者控制相应企业或资产的个人或者组织所带来的收益的不确定性。一般而言，对于金融期权评估模型，波动率可以直接根据股票的历史价格数据，通过计算其历史收益率的标准差求得，计算方法相对成熟。但对实物期权评估模型来说，其标的物大多为不确定非商业化的无形资产或其他投资项目等，既不存在期权的市场价格，也不存在历史价格。此外，金融期权的波动率主要受市场变化的影响，而实物资产价值的变动不但受到市场变化和资产自身特性的影响，还受到相关主体（拥有者或控制者、竞争对手与供应链成员等）行为变化的影响，相关主体对于实物资产的态度、策略和判断都会影响到标的资产价值的变化。这些特点使得波动率的估算成为实物期权评估模型的难点，也在某种程度上影响了实物期权理论在资产评估中的应用。

二、波动率的计算方法

波动率的内涵与特性使得实物期权评估模型中对于波动率的确定更多地采用假设、随机模拟或经验估值的方式。依据《实物期权评估指导意见（试行）》，波动率可以通过类比风险相近资产的波动率确定，也可以根据标的资产以往价格相对变动情况估计出历史波动率，再根据未来风险变化情况进行调整确定。目前采用比较多的方法主要有以下三种：

1. 近似资产收益率法。主要是采用金融期权求波动率的方法，通过相关股票价格数据估算得到。即利用具有相同或类似项目的上市公司的历史数据来近似得到评估标的物价值的标准差。由于证券市场数据较为容易获得，此方法在现实中应用较为广泛。但这种计算方法存在一个重要问题，即是相关股票的价格运动规律能否代表标的物价格的运动规律，即相关股票价格波动与其标的资产本身的价值波动的相关性问题。更重要的是，期权模型的波动率是指期权价格变化的波动率，而非对应资产价格的波动率。除了利用证券市场数据之外，还有学者提出采用相关产品价格变化来估算波动率。

2. 专家估算法，又称Delphi法。Delphi法是对不确定性问题求解的一种重要方法，也是估算波动率的重要方法，其主要思路是依据专家对标的物的认识给出波动率的大小，然后取中间值或者加权平均值作为波动率。该方法较为方便，但主观性较大，受专家专业能力和判断态度的影响较大。

3. Monte Carlo模拟法。Monte Carlo一般被称为概率统计技术，Monte Carlo模拟是一种通过设定随机过程，反复生成时间序列，计算参数估计量和统计量，进而研究其分布特征的方法。该方法首先根据标的资产预期的现金流量表，分析影响标的资产价值的各个不确定性因素，再根据各个不确定性因素的概率分布，用Monte Carlo模拟得到标的资产在不同情景下的净现值，最后计算其波动率。随着计算机技术的普遍应用，Monte Carlo模拟法在一些无形资产评估方面的使用频率越来越高。

三、敏感性分析

实物期权价值评估较为复杂，为确保评估结果的合理性，有必要对评估结果进行合理性检验，防止出现方向性的错误。敏感性分析可以判断参数取值对期权价值的关系，是合理性判断的重要工具。以买方期权为例，对公式（1）进行关于波动率σ的偏导数，得出：

同理可得，这说明波动率σ与买方期权价值C和卖方期权价值P都是正相关的，即在其他因素不变的情况下，波动率σ越大，期权价值越高，反之亦然，这也反映了因为不确定性而存在的期权价值所在。进一步分析，由公式（5）知，波动率对期权价值的影响是非线性的，具有复杂性。如果值越大，则期权价值对于波动率很小的变化就会很敏感，反之，如果值很小，则波动率的变化不会对期权价值产生太大影响。

下面以买方期权为例，数值模拟说明这一点，各参数取值分别为S=1000，X=800，T=6 ，r=0.02，σ的取值空间为[0.1, 3]，步长取0.01，由MATLAB软件编程计算得到结果，见图1和图2。其中，图1反映了波动率σ与参数d1及的非线性关系；图2的左边反映了波动率σ与期权价值C的变化是同向的，波动率σ越大，期权价值C越大，图的右边则刻画了其波动率变化与期权价值C变化的关系，反映了波动率处在某一刻（σ=0.36）时，期权价值C的变化幅度最大（Diff(C)=6.4569），而当波动率值很小或者较大时，其在取值附近波动则对期权价值影响较小。因此，在对期权价值进行评估时，需要把握好这些规律，在敏感区域需要做适当的敏感性分析，力求使评估结果更加合理可靠。

图1 波动率σ与参数d1及的关系

图2 波动率σ与期权价值C之间的关系

四、结论

由上述分析可知，实物期权评估中的参数取值有较大的不确定性，如何正确认识这些不确定因素对实物期权价值评估非常重要。笔者阐述了B-S实物期权评估模型中波动率的特点及其计算方法，并对其取值敏感性进行了分析，发现了波动率取值对期权价值的影响规律，希望对实物期权评估提供一些借鉴。

[1]张志强.期权理论与公司理财[M].华夏出版社,2001.

[2]彭若弘.实物期权波动率及价值对电信投资的影响研究[D].北京邮电大学,2011.

[3]李明顺,陈涛,藤敏.交通基础设施PPP项目实物期权定价及敏感性分析[J].系统工程,2011,29(3):67-73.

[4]Miller L T, Park C S. Decision making under uncertainty-Real options to the rescue [J]. The Engineering Economist, 2002,47(2):105-150.

[5]Razgaitis R. Dealmaking using Monte Carlo and real options analysis[M]. Wiley, 2004.