具有线性脉冲的周期捕食系统的持久性

陈丹,许宗文,张树文

(1.闽南理工学院信管系,福建石狮 362700;2.集美大学理学院,福建厦门 361021)

具有线性脉冲的周期捕食系统的持久性

陈丹1,许宗文1,张树文2

(1.闽南理工学院信管系,福建石狮 362700;2.集美大学理学院,福建厦门 361021)

研究具有Holling IV功能性反应和脉冲的周期捕食食饵系统.找到了影响该系统动力学行为的阈值R0.证明了当R0＜1时,该系统的食饵灭绝周期解是局部渐近稳定的;当R0＞1时,该系统的食饵灭绝周期解变得不稳定且食饵将一致持久.

捕食食饵系统;脉冲;Holling IV功能性反应;持续生存;局部渐近稳定

1 引言

脉冲微分方程是20世纪末发展非常迅速的一个数学分支,这是因为它比普通微分方程具有更加能贴合实际.许多学者对此进行了深入研究,得到许多结论[13].但现有成果多见于具有Holling I,Holling II,Holling III功能性反应的脉冲捕食-食饵系统[45],具有Holling IV功能性反应的脉冲捕食-捕食模型至今研究较少.因此,本文建立了在固定时刻具有脉冲效应和Holling IV功能性反应的周期捕食食饵系统:

这里r(t),a(t),c1(t),c2(t),d(t)都是以T为周期的,并且存在整数q使得τk+q=τk+T.x(t) 与y(t)分别表示食饵与捕食者的种群密度,r(t)代表内禀增长率,a(t)表示密度制约率,d(t)是捕食者的死亡率.

2 引理

利用文献[6]中的方法,容易得到y∗(t)是全局稳定的.

引理2.1当t充分大时,存在一个常数M＞0,使得系统(1.1)的解X(t)=(x(t),y(t))满足x(t)≤M,y(t)≤M.

证明定义函数V(t,X(t)),使得

3 持续生存与灭绝

令m2=y∗(t)-ε1,ε1＞0,由比较定理和系统(2.1)的结论,有当t充分大时,y(t)＞m2.下面要找到一个m1＞0使得当t充分大时,x(t)≥m1.将分为两步来做.

1.因为R0＞1,可以选择足够小的m3＞0,ε2＞0,ε3＞0,ε=ε2+ε3,使得

[1]Hui Jing,Chen Lansun.Extinction and permanence of a predator-prey system with impulsive effect[J]. Mathemarlca Applicata,2005,18(1):1-7．

[2]张树文,张耘嘉,谭德君.具脉冲效应和Beddington-DeAnglis功能反应时滞周期捕食系统[J].纯粹数学与应用数学,2010,4:534-540．

[3]Zhang Shuwen,Tan Dejun.Permanence in a food chain system with impulsive perturbations[J].Chaos, Solitions and Fractals,2009,40:392-406．

[4]Xu Rui,Chen Lansun.Persistence and global stability for three-species ratio-dependent predator-prey system with time delays[J].Journal System Science＆Mathematics Science,2001,21(2):204-212．

[5]许斌,陈狄岚,孙继涛.一类具有功能反应的生物捕食系统的脉冲控制[J].生物数学学报,2004,19(1):77-81．

[6]Liu Xianning,Chen Lansun.Complex dynamics of Holling type Lotka-volterra predator-prey system with impulsive pertubations on the predator[J].Chaos,Solitons and Fractals.2003,16:311-320.

Permanence in a periodic predator-prey system with linear impulsive perturbations

Chen Dan1,Xu Zongwen1,Zhang Shuwen2
(1.Information Management Department,Minnan University of Science and Technology, Shishi362700,China; 2.College of Science,Jimei University,Xiamen361021,China)

In this paper,a non-autonomous periodic predator-prey system with Holling IV functional response and impulsive perturbation is considered.The threshold value R0which determines the dynamical behavior of the model is provided.Furthermore,we prove that the prey-eradication periodic solution is locally asymptotically stable provided R0＜1,the prey-eradication periodic solution is unstable and the pest will be uniform persistent when R0＞1.

predator-prey system,impulsive perturbation,Holling IV functional response,permanence, locally asymptotically stable

O175.12

A

1008-5513(2013)02-0208-06

10.3969/j.issn.1008-5513.2013.02.015

2012-09-12.

福建省教育厅科技项目(JB12252).

陈丹(1986-),硕士生,研究方向：生物数学.

2010 MSC:34D05