一类具非线性边界条件的高阶方程的奇摄动问题

许友伟,姚静荪,刘燕

(安徽师范大学数学计算机科学学院,安徽芜湖 241003)

一类具非线性边界条件的高阶方程的奇摄动问题

许友伟,姚静荪,刘燕

(安徽师范大学数学计算机科学学院,安徽芜湖 241003)

通过引入伸展变量和非常规的渐近序列,运用合成展开法,对一类具非线性边界条件的非线性高阶微分方程的奇摄动问题构造了形式渐近解,再运用微分不等式理论证明了原问题解的存在性及所得渐近近似式的一致有效性.

奇摄动;非线性边界条件;高阶微分方程;微分不等式理论

1 引言

近年来,对具非线性边界条件的微分方程的奇摄动问题已有很多研究,如文献[1-3]研究了具非线性边界条件的二阶微分方程的奇摄动问题,文献[4-5]研究了具非线性边界条件的三阶微分方程的奇摄动问题,文献[6]研究了具非线性边界条件的四阶微分方程的奇摄动问题,文献[7]则研究了更为一般的具非线性边界条件的n阶微分方程的奇摄动问题.但文献[7]中的假设[H4]要求P(λ0)=0,P′(λ0)/=0,即λ0为P(λ)=0的单根,该条件保证了用常规的渐近序列可以确定外部解,从而获得复合解.本文摒弃关于单根的条件,讨论在文献[7]中已研究的如下奇摄动问题:

的解是退化问题(5)-问题(7)的解.

现作如下假设:

[H1]函数f,g,h关于其变元在相应的区域内充分光滑,且对于各自变量的各阶偏导有界,并存在正常数k0,δ0,使得

2 形式渐近解的构造

3 主要结果

[1]莫嘉琪,韩祥临.一类奇摄动非线性边值问题[J].数学研究与评论,2002,22(4):626-630.

[2]Mo Jiaqi.The singularly perturbed nonlinear boundary value problems[J].Mathematica Applicata,2004, 17(1):37-41.

[3]吴钦宽.奇摄动积分微分方程非线性边值问题[J].兰州大学学报:自然科学版,2007,43(4):127-130.

[4]黄香蕉,明万元.奇摄动三阶非线性边值问题[J].数学的实践与认识,2011,41(8):177-181.

[5]吴有萍,姚静荪.一类具非线性边值条件的非线性方程的奇摄动问题[J].应用数学与计算数学学报, 2011,25(2):185-193.

[6]Li Xu,Wang Shipeng.Singular perturbations for a class of fourth-order nonlinear boundary value problem[J]. Chin.Quart.J.of Math.,2011,26(2):217-222.

[7]刘燕,姚静荪.一类高阶方程的非线性边界条件的奇摄动问题[J].高校应用数学学报,2012,27(2):175-181.

[8]王立波,裴明鹤,葛渭高.一类n阶非线性两点边值问题解的存在性与唯一性[J].应用数学学报,2008,31(3):467-479.

A class of singular perturbed problems for higher order equations with nonlinear boundary value conditions

Xu Youwei,Yao Jingsun,Liu Yan
(College of Mathematics and Computer Science,Anhui Normal University,Wuhu241003,China)

The formal asymptotic solutions are constructed for a class of singular perturbed problems for higher order equations with nonlinear boundary value conditions by the introduction of the stretched variable and the unconventional asymptotic sequenceand the method of composite expansions.Then the existence of solutions for the original problems and the uniform validity of the asymptotic approximations are proved by the theory of differential inequality.

singular perturbation,nonlinear boundary value condition,higher order differential equation, the theory of differential inequality

O175.14

A

1008-5513(2013)02-0197-11

10.3969/j.issn.1008-5513.2013.02.014

2013-01-10.

国家自然科学基金(10901003);安徽高校省级自然科学基金(KJ2011A135).

许友伟(1989-),硕士生,研究方向:奇异摄动理论.

姚静荪(1956-),教授,研究方向:奇异摄动理论.

2010 MSC:34E20,34B15