l1空间中弱收敛和强收敛的等价性

陈敏江，赵书银，宋建民

（1.石家庄经济学院数理学院，河北石家庄050031；2.河北建筑工程学院数理系，河北张家口075024）

l1空间中弱收敛和强收敛的等价性

陈敏江，赵书银，宋建民

（1.石家庄经济学院数理学院，河北石家庄050031；2.河北建筑工程学院数理系，河北张家口075024）

主要研究了l1空间中两种收敛性的关系，首先给出序列弱收敛必强收敛的结论，接下来用反证法给出了具体的证明过程，最后给出了研究结论产生的原因。

l1空间；弱收敛；强收敛

0 引言

当p≥1时，lp空间强收敛蕴含弱收敛，但在l1空间中，弱收敛的序列必然强收敛，从而在l1空间中弱收敛与强收敛是等价的。为了证明这个事实，只需说明如果l1中的序列x”n＝（x1”n，x2n，…）弱收敛于0＝（0，0，…），则其必然强收敛于0＝（0，0，…），在用反证法证明过程中，关键是构造l1上的泛函l使得（xn）≠0。

1 l1空间中弱收敛和强收敛的关系

因为lk都是l1上的有界线性泛函，所以下面的结论成立：

引理1：如果xn弱收敛于0＝（0，0，…），则对任何k∈N，有

证明过程参见文献［1-2］。

定理1：l1空间中弱收敛的序列xn必然强收敛。

证明：设xn弱收敛于x，则xn-x弱收敛于0，从而不妨假设x＝0。

如果xn不强收敛于0，即存在ε0＞0和xn的子列，仍然记为｛xn｝，使得，由于

定义l1上的泛函l为：

对所有满足条件的rk的取值，显然l是l1上的线性泛函。

设N1＝1，存在，使得n1∈N

取l的前n1个分量系数rk为

可得

又由于xn的前n1个分量满足

所以存在N2＞N1，n≥N2时有

于是当n≥N2时有

对xN2，存在n2＞n1，使得

从而

取l的第n1+1到第n2个分量分别为

则

依此类推，对于xNj（j≥2），存在Nj+1＞Nj，使得n≥Mj+1时

对于xNj+1，存在nj+1＞nj，使得

于是

取l的第nj+1到第nj+1个分量分别为

则

这样就找到一列xNj∈l1，使得

这与xn弱收敛于0矛盾，故xn必强收敛于0。

所以l1空间中弱收敛的序列xn必然强收敛。

2 结语

由于l1空间的弱紧集中的任何一个序列存在弱收敛的子列，从而存在强收敛的子列，所以在l1空间中弱紧性和紧性是等价的。但是由Alaoglu定理知道，l1空间中的任何有界闭集是弱紧的，所以l1空间不是自反空间。不然就有l1空间中的任何有界闭集是弱紧集从而是紧集，与Riesz定理矛盾［2-4］。

［1］张恭庆.泛函分析［M］.北京：北京大学出版社，1990.

［2］Peter D.Lax.Functional Analysis［M］.USA：Wiley-Interscience，2002.

［3］Lawrence C.Evans，Partial differential equation［M］.USA：American Mathematical Society，1998.

［4］程其襄.实变函数与泛函分析基础［M］.北京：高等教育出版社，2010.

Equivalence of W eak Convergence and Strong Convergence in l1-Spaces

CHEN Min-jiang1，ZHAO Shu-yin2，SONG Jian-min1
（1.College of Mathematics and Science，Shijiazhuang University of Economics，Shijiazhuang 050031，China；2.Department of Mathematics and Physics，Hebei Institute of Architecture and Civil Engineering，Zhangjiakou 075024，China）

The equivalence ofweak convergence and strong convergence in-Spaces is proved with an elementary method.First of all given sequence of weak convergence will strong convergence，the following specific proof process is solved using the reduction to absurdity，the cause of research conclusion is also given.

l1-spaces；weak convergence；strong convergence

陈敏江（1978-），男，河北石家庄人，石家庄经济学院数理学院讲师，从事函数论和偏微分方程研究。

河北省教育厅科研项目（GH132068，Z2013110）；石家庄经济学院教改项目（2011j23）。

O177.2

A

2095-0063（2013）06-0065-03

2013-09-17