基于Matlab的两轴单公用齿轮机构变位系数选择的方法

李英楠

（广西大学机械工程学院，广西 南宁530004）

两轴单公用齿轮机构是一种常见的变速机构，由于这种机构采用了公用齿轮，因此可以减少机构中齿轮的数目，减轻机构的重量，从而节约了成本。该机构在机床的走刀箱、变速箱及各种机器适宜的变速机构中都广泛应用[1]。在这种机构中，为了配凑中心距，所有齿轮一般都采用变位齿轮，由于齿轮的公用,使得各齿轮间的变位系数互相牵制，因此如何合理的选择齿轮的变位系数就成为了设计该机构的关键问题。目前，选择齿轮变位系数广泛采用封闭图法，但此方法并不适用于一个齿轮分别与两个或两个以上齿轮啮合的情况[2]。

鉴于此，本文针对该机构的特点，根据变位齿轮变位系数选择的限制条件，利用Matlab软件强大的数值计算功能，提出了一种选择变位系数的方法。

1 工作原理及结构特点

1.1 工作原理

图1所示即为两轴单公用齿轮机构，轴I上的齿轮为公用齿轮，齿数为Z，轴II上的齿轮为固定齿轮，齿数Z1、Z2<……

图1 传动原理图

1.2 结构特点

（1）各齿轮变位系数之间的关系

当所有齿轮的齿数、模数、压力角以及实际中心距均已确定之后，变位系数之和xi∑=x+xi也完全确定，且满足x1∑>x2∑>…>xn∑，x1>x2>…>xn。由此可知：若确定了任一齿轮的变位系数，其它所有齿轮的变位系数也就随之确定了。

（2）固定齿轮Z1、Z2……Zn的齿顶圆半径

根据变位齿轮齿顶圆半径公式可推导出固定齿轮Z1、Z2……Zn的齿顶圆半径为：

由此可以看出：决定rai的所有参数都是唯一确定的，因此所有固定齿轮的齿顶圆半径都是相等的。

2 变位系数选择方法

2.1 实际中心距as的确定

根据各固定齿轮的齿数关系可知：两轴间理论中心距的最大值a max=m(Z+Zn)/2，最小值a min=m(Z+Z1)/2，由于正传动的优点多于负传动，因此一般选择实际中心距as为大于(a min+a max)/2的整数。

2.2 拟定传动方案可行性的判定

当实际中心距as确定以后，根据文献[3]中给出的选择变位系数的限制条件利用Matlab软件计算出固定齿轮中齿数最少的齿轮Z1在满足无根切、无过渡曲线干涉、齿顶厚、重合度限制条件下的最大变位系数值x1max，以及齿数最多的齿轮Zn在满足无过渡曲线干涉、齿顶厚以及重合度的限制条件的最小变位系数值xnmin，然后依据文献[1]中提出的II轴上最大与最小齿轮的许用齿数差的计算公式：2(x1max-xnmin)≥Zn-Z1来判定该传动方案是否可行。

2.3 变位系数的分配

当实际中心距as确定之后，公用齿轮Z与固定齿轮Z1、Z2…Zn之间的变位系数之和xi∑=xi+x就完全确定，若选取齿轮Z1的变位系数为[x1min，x1max]中某一值x1，则公用齿轮的变位系数x=x1∑-x1，其它固定齿轮的变位系数xi=xi∑-x1∑+x1，其中(i=2，3，…，n)。当齿轮Zn的齿数较少时，齿轮Z2、Z3…Zn中的某些齿轮会产生不同程度的根切，若选取x1=x1max，就可保证在满足最小齿轮Z1设计要求的基础上其它所有固定齿轮的变位系数达到最大，从而最大限度地降低了根切齿轮根切的程度。

2.4 公用齿轮Z的齿顶圆半径的确定

（1）所有固定齿轮均无根切的情况

公用齿轮Z与固定齿轮Z1、Z2…Zn分别啮合时,它们的齿顶高变动系数Δyi不同，当所有固定齿轮的变位系数都已经确定之后，根据齿顶圆半径计算公式可知：在理论上，齿轮Z共有n个齿顶圆半径,并且满足razz1

（2）固定齿轮中存在根切齿轮的情况

齿轮根切对齿轮传动并不完全有害，根切分为“无害根切”和“有害根切”[4]，如图2所示，M1M2为齿廓工作段，当根切点M2"位于齿廓工作段之外时，这种根切并不影响齿轮正常传动，只会削弱轮齿齿根部的强度，这在一定程度上是允许的，称为“无害根切”。当根切点M2'在齿廓工作段以内时，这种根切不仅削弱轮齿齿根部的强度，而且会导致重合度降低，与配对齿轮啮合时产生啮合干涉，影响齿轮运动平稳性，称“有害根切”。

图2 齿轮根切示意图

“有害根切”和“无害根切”的判定方法：设某齿轮的变位系数为x，当(14-Z)/17≤x≤(17-Z)/17时，为“无害根切”；当x>(14-Z)/17时，为“有害根切”。

若轴II上没有存在“有害根切”的齿轮，则公用齿轮Z的齿顶圆半径仍然按照2.4中（2）的方法来取，但是要验算存在“无害根切”的齿轮的齿根弯曲疲劳强度。

若轴II上含有存在“有害根切”的齿轮，那么为了使得该齿轮能够正常传动，就需要缩短齿廓工作段，即将图2中的M2点上移至，这样就可以消除啮合干涉，但会减小重合度。M2点是配对齿轮齿顶圆和啮合线的交点，当实际中心距、齿数、模数、压力角均已确定之后，啮合线的位置就已经确定了，因此只能通过改变配对齿轮齿顶圆大小来改变M2点的位置。具体步骤如下：

一是，找到根切最为严重的齿轮i。

二是，利用Matlab软件求出根切点。

（齿廓曲线与齿根过渡曲线的交点）[5]，如图3所示。

图3 根切点示意图

由此可得：

联立（1）、（2）可求得根切圆与啮合线的交点K（xk，yk）点，从而求得避免公用齿轮Z与根切齿轮i啮合时产生啮合干涉的齿轮Z的最大齿顶圆半径：

三是，公用齿轮Z1齿顶圆半径ra的选取。

利用（3）式算出后，将其与razz1进行比较，如果ra'>razz1，则取ra=razz1；如果ra'

四是，根切齿轮齿根弯曲强度的校核

当齿轮产生根切时，其轮齿齿根处的抗弯强度将会降低，因此还要对其轮齿的弯曲疲劳强度进行校核。

3 计算实例

图4为某水稻插秧机株距箱的两轴单公用齿轮机构，齿轮的齿数、模数、中心距如图4中所示，压力角均为20°，试合理地分配各齿轮的变位系数以满足如下设计要求：

图4 结构参数示意图

第一，无啮合干涉；

第二，齿顶厚sai叟0.25×m（i=1、2）；

第三，重合度εi叟1（i=1、2）。

利用Matlab软件的计算结果如下：

（4）各齿轮最终确定的详细参数如表1所示。

表1 最终确定各齿轮重要参数

结果分析：

从（1）中可以看出：该传动方案满足2(x1max-xnmin)≥Zn-Z1，因此该传动方案可行。

从（2）中可以看出：对于齿轮Z2，x2<(Z2-14)/17，因此齿轮Z2会产生“有害根切”。

从（3）中可以看出：>razz1，因此取公用齿轮Z的齿顶圆半径ra=razz1=45.664。

从表1中可以看出：所设计的齿轮满足设计要求，同时也说明了利用该方法来选择两轴单公用齿轮机构的变位系数是可行的。

4 结束语

在设计两轴单公用齿轮机构时，由于各齿轮间的变位系数互相牵制，因此增加了变位系数选择的难度。鉴于此，本文针对两轴单公用齿轮机构的特点，根据变位齿轮变位系数选择的限制条件，提出了一种借助Matlab软件强大计算功能的两轴单公用齿轮机构变位系数选择的新方法。该方法较之传统的利用封闭图来选择变位系数的方法更为精确，且便于对变位系数进行优化选择，具有一定的实用性。

[1]李 沧.论双轴滑移齿轮机构移距变位的条件及计算[J].昆明工学院学报，1990，15(4):39-45.

[2]路长厚，马照燕.车螺纹进给系统公用齿轮变位系数的优化设计[J].制造技术与机床，1994(3):22-24.

[3]郭克强.渐开线变位齿轮传动[M].北京：高等教育出版社，1984.

[4]傅师伟，黄富贵.渐开线圆柱齿轮剃齿过程中的根切控制[J].农机化研究，2004(6):184-186.

[5]彭南华，等.基于MATLAB的齿轮根切建模分析[J].中国制造业信息化，2007，36(9):29-33.