探规律求坐标

高峰

规律探究型题是中考试题中的常见题型，此类题型不仅能培养同学们的分析问题、解决问题的能力，也有利于培养同学们的创新能力.解决这类问题时，同学们可以采用列举法，在观察的同时用笔在稿纸上列举几例，一般列出3到4个例子后，规律就会呈现出来.下面笔者就采用列举法解决坐标系中的规律探究题，供同学们参考.

一、点的运动规律

例1 一只跳蚤在第一象限及x轴、y轴上跳动，在第一秒钟，它从原点跳动到（0，1），然后接着按图1中箭头所示方向跳动，即（0，0）→（0，1） →（1，1） →（1，0）→…，且每秒跳动一个单位，那么第35秒时跳蚤所在位置的坐标是（ ）.

图1

A.（4，0） B.（5，0）

C.（0，5） D.（5，5）

解析：解答本题需要探索跳蚤跳动的路程和跳动的方向存在怎样的规律.把原点看作y轴上的点.

从y轴上的（0，0）到x轴上（1，0）处跳过的路程为2×1+1；

从x轴上的（1，0）到y轴上（0，2）处跳过的路程为2×2+1；

从y轴上的（0，2）到x轴上（3，0）处跳过的路程为2×3+1；

……

因为跳蚤每秒跳一个单位，且35=（2×1+1）+（2×2+1）+（2×3+1）+（2×4+1）+（2×5+1），所以第35秒时，跳蚤是从y轴上的（0，4）到x轴上（5，0）.故选B.

也可考虑跳蚤从原点出发跳到正方形在第一象限内的顶点（m，m）处时跳过的路程：

跳到（1，1）处时跳过的路程为2=1×2；

跳到（2，2）处时跳过的路程为6=2×3；

跳到（3，3）处时跳过的路程为12=3×4；

……

由此可猜想：跳蚤从原点跳到（m，m）处时跳过的路程为m（m+1）.

我们再来看跳蚤跳到正方形在第一象限内的顶点（m，m）处后的跳动的方向，由图可知：

当m为奇数时，跳蚤竖直向下向x轴跳动；当m为偶数时，跳蚤水平向左向y轴跳动.

因为30=5×6，所以跳蚤从原点出发跳到（5，5）处时跳过的路程30. 因为m=5为奇数，所以跳蚤跳到（5，5）处时，还需竖直向下向x轴跳动，因为跳蚤1秒跳一个单位，所以第35秒跳过的路程是35个单位，因此跳蚤还需竖直向下跳5个单位，显然此时跳蚤跳到x轴上的点（5，0）处. 故选B.

二、图形的运动规律

例2 如图2，将边长为1的正三角形OAP沿x轴正方向连续翻转2013次，点P依次落在点P1，P2，P3，…，P2013的位置，则点P2013的横坐标为 .

图2

解析：观察图2整理如下：

P1、P2的横坐标为1，P3的横坐标为2.5，P4、P5的横坐标为4，P6的横坐标为5.5，依此类推，P7、P8的横坐标为7，P9的横坐标为8.5，P10、P11的横坐标为10，….

从P1开始，每转3次为一组，每组前两次的横坐标相等且等于每一组首次的旋转次数，而第三次数的横坐标是它的次数减去0.5.因为2013÷3=3×671，故翻转到第2013次时，2013是第671组的末位，所以P2013的横坐标为2011+1.5=2012.5.

三、覆盖规律

例3 （2012年北京）在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点.已知点A（0，4），点B 是x轴正半轴上的整点，记△AOB内部（不包括边界）的整点个数为m.当m=3时，点B的横坐标的所有可能值是 ；当点B的横坐标为4n（n为正整数）时，m = （用含n的代数式表示）.

图3

解析：当B点的横坐标为3或者4时，如图4所示，只有3个整点.

图4

图5

图6

当n=1时，即B点的横坐标为4，如图4，此时有3个整点；当n=2时，即B点的横坐标为8，如图5，此时有9个整点；当n=3时，即B点的横坐标为12，如图6，此时有15个整点.根据上面的规律，即可得出m=6n-3.故填3或4，6n-3.

练习：

1.在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点.且规定，正方形内部的整点不包含边界上的点.观察如图7所示的中心在原点的正方形：边长为1的正方形内部有1个整点，边长为2的正方形内部有1个整点.边长为3的正方形内部有9个整点……则边长为8的正方形内部的整点的个数为（ ）.

图7

A.64 B.49 C.36 D.25

2. 如图8，将边长为1的正方形OAPB沿 x轴正方向连续翻转2006次，点P依次落在点P1，P2，P3，P4，…，P2006的位置，则P2006的横坐标x2006= .

图8

3. 如图9，在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点.观察图中每一个正方形四条边上的整点的个数，请你猜测由里向外第20个正方形四条边上的整点的个数共有 个.

图9

4. 如图10，已知Al（1，0）、A2（1，1）、A3（-1，1）、A4（-1，-1）、 A5（2，-1）、….则点A2007的坐标为 .

图10

5.在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位.其行走路线如图11所示.

图11

（1）填写下列各点的坐标：A4（ ， ），A8（ ， ），A12（ ， ）；

（2）写出点A4n的坐标（n是正整数）；

（3）指出蚂蚁从点A100到点A101的移动方向.

参考答案：

1.通过画图观察可知边长为4的正方形内部也有9（9=32）个整点，而边长为5的正方形内部有25个整点，边长为6的正方形内部也有25（25=52）个整点，所以边长为7和8的正方形内部的整点的个数为49（49=72），故选B.

2. 观察图形整理如下：

P1的横坐标为1，P2的横坐标为2，P3的横坐标为2，P6的横坐标为6， 6=2+4×1.

P10的横坐标为10，10=2+4×2.

P14的横坐标为14，14=2+4×3.

……

从第3次旋转开始，每转4次，其横坐标等于其旋转次数.

∵2006-2=2004是4的倍数，故翻转第2006次时，P2006的横坐标为2006.

3.主要观察边上整数点的个数的规律即可.

列举整理如下：

第1个正方形：有4个整点， 4=4×1；

第2个正方形：有8个整点，8=4×2；

第3个正方形：有12个整点，12=4×3；

……

第n个正方形：有4n个整点，

∴第20个正方形四条边上的整点个数为4 ×20=80个.

4. 因为要求的是点A2007的坐标，即A的下标是奇数的点的坐标. 观察图形，可从A3开始探寻规律. 又因为有四个象限，所以考虑4个一组进行探究.

A3（-1，1） ，A7（-2，2），观察坐标系可知：A11（-3，3），A15（-4，4），其横、纵坐标互为相反数.

把A3、A7、A11、A15右下角的数字提出来，可整理为：

3=3+4×0； A3（-1，1）

7=3+4×1； A7（-2，2）

11=3+4×2； A11（-3，3）

15=3+4×3； A15（-4，4）

…… ……

因为2007=3+4×501， 所以 A2007（-502，502），所以A2007的坐标为（-502，502）.

5.（1）解答本小题是为了探寻规律，结合图形就容易得到：A4（2，0）； A8（4，0）； A12（6，0）；

（2）第（1）小题的4个点的下标就是4n，而观察它们的坐标可以发现，它们的横坐标是2n，纵坐标为0，所以猜想A4n（2n，0）；

（3）观察图形，可知蚂蚁走的方向是按A1、A2、A3、A4，4次一循环，因为100=4×25，A100与点A4的移动方向一致，所以蚂蚁从点A100到点A101的移动方向是向上.