基于摄动法的多条裂纹欧拉梁特征模态分析

郭智刚，孙 智

(1.同济大学 土木工程学院桥梁工程系，上海 200092;2.同济大学 土木工程防灾国家重点实验室，上海 200092)

梁是工程结构中最常使用的一类构件，在复杂的工作环境下可能会产生裂纹损伤，这些裂纹损伤对结构的正常工作是相当不利的。结构中裂纹的出现引起局部刚度的改变，从而在一定程度上影响了结构整体的动力特性，导致结构参数如频响函数和模态参数等随之改变。因此，如何准确地模拟和分析裂纹对梁动力特性的影响对梁裂纹的动力识别具有重要意义。

为此，国内外许多学者研究了裂纹对这类结构构件的动力特征的影响。一些学者采用无质量转动等效弹簧模拟裂纹，并分别对梁［1－7］、管道［8－9］等进行了理论分析和实验研究。然而模拟裂纹的等效弹簧模型计算公式复杂，而且不能直接描述裂纹特性。因此，相关研究出现了另一种方法［10－12］，即直接将梁开口裂纹模拟成梁微段内的横截面折减并用摄动法分析裂纹梁的动力特性和曲率模态。但是现有的工作只对单个裂纹进行了讨论，没有讨论多条裂纹的动力模拟方法和对动力参数的影响。

本文基于一阶摄动方法推导了含多条裂纹的裂纹梁的固有频率和模态振型的近似解析表达式，并研究了多条裂纹下裂纹梁模态参数的变化规律。

1 理论方法

1.1 裂纹梁动力建模

图1为一矩形截面简支梁模型，梁的长、宽、高分别为l、b、h。假定在梁的xd处有一裂纹损伤，裂纹深度为hd，宽度为Δl，则损伤部分梁的截面转动惯量为:

图1 裂纹梁的结构模型Fig.1 The cracked beam model

同理，令m0=ρbh，ρ为材料密度，在梁的损伤部分，单位长度梁的质量为:

如果在梁的xd处的极小区域内发生裂纹损伤，在Δl微小的情况下，考虑在梁的全部长度上，其截面惯性矩的函数表达式可以用δ函数表示为:

这样在梁发生多个裂纹损伤时，截面转动惯量的函数表达式为:

同理，在梁的全长上，单位长度的质量也可以表示为:

将式(4)和式(6)及弹性模量 E代入 Euler－Bernoulli梁的自由振动方程，则裂纹梁的自由振动方程可表达为:

裂纹梁的自由振动特征值表达式为:

1.2 裂纹梁特征模态参数的摄动解

考虑到梁的局部微小损伤，因而ε、Δl都是一个很小的量，假定损伤后结构的特征值和模态振型是损伤前的一个微小扰动，根据一阶摄动理论，损伤后的特征值和模态振型可表示为:

将式(13)代入式(12)，可得:

将式(14)乘以第q阶损伤前的模态振型φ0q，并在整个梁长度上积分，考虑到模态的正交性，可得:

式(15)中右端的第一项积分部分可简化为:

将式(16)代入式(15)，可得:

由式(17)并考虑模态正交性可得:

由于模态振型具有正交性，即:

将式(6)和式(10)代入式(20)，并按系数项展开，略去两阶以上的项，整理后可得:

将式(13)乘以m0φ0p，并在整个梁长度上积分，可得:

当p=q时，式(23)可化简为:

将式(22)代入式(24)可得:

将式(18)代入式(9)可求得裂纹梁的特征值为:

将式(13)、式(19)、式(25)代入式(10)可求得裂纹梁的弯曲模态振型为:

式中:

裂纹梁的弯曲模态曲率可由式(27)对x求二阶导得到

2 带裂纹简支梁模态分析

采用如上所述摄动法，本文分析了带裂纹简支梁的模态频率和振型。简支梁物理参数如表1所示。摄动法分析时，完整梁 p阶模态特征值和质量归一振型采用如下闭合解:

表1 裂纹梁的材料特性Tab.1 Material properties of cracked beam

2.1 数值验证

为了验证方法的准确性和适用范围，本研究根据结构物理参数和裂纹情况建立有限元分析模型，计算了不同裂纹相对位置xd/L、裂纹相对宽度Δl/L、以及裂纹相对深度ε下摄动法模态频率与有限元计算的模态频率相对计算误差。相对计算误差公式表示为:

其中:η为摄动法计算的模态频率与有限元计算的模态频率相对计算误差，f～为摄动法计算的模态频率，f为有限元计算的模态频率。本文的有限元计算采用梁单元模型［14］，分析过程中将梁划分成单元，裂纹损伤区域单独划分为一个单元，并对该带裂纹梁的有限元模型进行特征分析，求解结构特征频率和振型。

图2所示为设定裂纹位置为0.40 L时，在不同裂纹相对宽度的情况下模态频率相对计算误差随裂纹相对深度的变化。图3所示为设定裂纹相对宽度为0.1时，在不同裂纹相对位置的情况下模态频率相对计算误差随裂纹相对深度的变化。如图所示，本文方法对于梁裂纹越窄越浅时特征模态分析的结果越准确。系列研究表明如果设定0.5%的模态频率相对计算误差为可接受的误差范围，本文方法适用于梁上有宽度小于0.1 L、深度小于0.1 h的裂纹梁的特征模态分析。

2.2 带裂纹梁模态频率分析

基于上述推导，本文进一步研究了结构裂纹对梁频率的影响。图4为简支梁在单条裂纹作用下前两阶损伤后频率ωd与损伤前频率ωu的比值随裂纹位置变化而变化的曲线图。裂纹相对深度分别取ε=0.02、0.04、0.06、0.08、0.10。图 4 表明:① 随着裂纹深度的增大，各阶频率相应减小;② 位于振型反弯点处的裂纹不会引起梁的频率变化;③ 导致该阶频率变化最大的裂纹位于该阶振型的峰值部位。这些特征可用于基于频率监测的梁裂纹识别。

2.3 带裂纹梁模态振型分析

本文同时研究了裂纹对该简支梁的模态振型和模态曲率的影响。图5为带单条裂纹简支梁的前三阶模态振型。裂纹相对深度ε=0.08，位置0.4L。图5表明裂纹不大的情况下，简支梁的模态振型和损伤前的模态振型一致，并无明显突起。图6为带单条裂纹简支梁的前三阶模态曲率。该图表明梁的三阶模态曲率在裂纹位置处均有明显的凸起。用模态曲率进行梁的裂纹位置识别，识别效果将明显优于模态振型。

图2 在不同裂纹相对宽度下简支梁一、二阶模态频率相对差随裂纹相对深度的变化(xd=0.40L)Fig.2 Relative modal frequency change of the(a)first mode and(b)second mode versus relative crack depth change for given relative crack widths

图3 不同裂纹位置下简支梁一、二阶模态频率相对差随裂纹相对深度的变化(Δl/L=0.1)Fig.3 Relative modal frequency change of the(a)first mode and(b)second mode versus relative crack depth change for given relative crack locations

图4 单条裂纹下简支梁前两阶频率比随裂纹位置变化而变化的曲线图Fig.4 Relative frequency ratio versus relative location change for given relative crack depths of the(a)first mode and(b)second mode

图5 带裂纹简支梁前三阶模态振型Fig.5 The first three mode shapes for cracked simply supported beam

图6 裂纹产生后简支梁前三阶模态曲率Fig.6 The first three modes of mode shape curvatures for cracked simply supported beam

图7 第2条裂纹产生后简支梁前两阶频率比随裂纹位置变化而变化的曲线图Fig.7 Relative frequency ratio of the(a)first mode and(b)second mode versus relative location change of the second crack for the simply supported beam with one crack at given locations

图8 两条裂纹产生后简支梁前三阶模态曲率Fig.8 The first three orders of mode shape curvatures for simply supported beam with two cracks

2.4 多条裂纹对模态参数的影响分析

本文同时研究了多条裂纹对简支梁模态参数的影响。图7为第一条裂纹深度ε1=0.10，裂纹位置分别为 xd1=0.1、0.3、0.5L 时频率比随第二条裂纹位置变化而变化的情况。如图所示，第二条裂纹位置变化引起的频率变化趋势与幅度不随第一条裂纹位置的不同而不同。这说明，在裂纹深度不大时，各条裂纹对梁频率变化的影响是各自独立的，带多条裂纹梁的频率相对变化为各单条裂纹引致的梁频率相对变化的乘积。

图 8 为 ε1=0.05、xd1=0.2L，ε2=0.10、xd2=0.7L时裂纹梁的模态振型和模态曲率。该图表明，对于含多条裂纹的梁，其模态曲率会相应地出现多个突起，可很方便地用于梁裂纹位置的识别。

3 带裂纹悬臂梁模态分析

3.1 与已有实验结论对比

为了进一步验证本文方法对分析带裂纹悬臂梁特征模态参数的准确性和适用性，本文以Kam等［15］文中的试验悬臂梁作为算例，进行算例研究并进行了结果比较。悬臂梁参数见表2，计算结果见表3。如表所示，解析计算结果跟试验结果的相对误差最大的为－0.61%，这表明本文方法是准确而且有效的，可用于带裂纹悬臂梁特征模态的分析。

表2 悬臂梁的材料特性Tab.2 Material properties of cantilever beam

表3 悬臂梁的固有频率计算值和试验值Tab.3 Natural frequency of numerical value and experimental value in cantilever beam

3.2 带裂纹梁模态频率分析

采用本方法，本节研究了结构裂纹对悬臂梁频率的影响。悬臂梁物理参数如表2所示。图9为悬臂梁在单条裂纹作用下前两阶损伤后频率ωd与损伤前频率ωu的比值随裂纹位置变化而变化的曲线图。裂纹相对深度分别取 ε =0.02、0.04、0.06、0.08、0.10。读图9，可得到与简支梁相类似的结论:① 梁裂纹的出现和扩展将引致各阶频率地相应减小;② 裂纹若发生在某阶振型反弯点处，该阶梁的频率不会发生变化;③同等深度裂纹若发生在某阶振型峰值处，该阶梁频率的变化也最大。

图9 单条裂纹下悬臂梁前两阶频率比随裂纹位置变化而变化的曲线图Fig.9 Relative frequency ratio of the(a)first mode and(b)second mode versus relative location change for given relative crack depths of cantilever beam

图10 带裂纹悬臂梁前三阶模态振型Fig.10 The first three orders of mode shapes for cracked cantilever beam

3.3 带裂纹梁模态振型分析

对于裂纹对该悬臂梁模态振型和模态曲率的影响，图10和图11分别显示了悬臂梁中产生单条裂纹时梁的前三阶模态振型和模态曲率。裂纹相对深度ε=0.08，相对位置xd=0.3L。如图所示，裂纹不大的情况下，悬臂梁的模态振型无明显变化但其模态曲率在裂纹位置处有明显的突起。这是因为模态曲率是模态振型的二阶导数，沿梁的长度方向进行二阶微分时，会出现一个系数。随着阶数的增大，该系数的值也越来越大，因此模态曲率的变化也越来越明显。

3.4 多条裂纹对模态参数的影响分析

本文同时研究了多条裂纹对悬臂梁的模态参数的影响。图12为第一条裂纹深度ε1=0.10，第一条裂纹位置分别为 xd1=0.1、0.3、0.5L 时频率比随第二条裂纹位置变化而变化的情况。如图所示，悬臂梁和简支梁的裂纹导致频率变化有着类似的规律:在裂纹深度不大时，各条裂纹对梁频率变化的影响是各自独立的，带多条裂纹梁的频率相对变化为各单条裂纹引致的梁频率相对变化的乘积。

对于多条裂纹对该悬臂梁模态的影响，图13显示了 ε1=0.05、xd1=0.3，ε2=0.10、xd2=0.6 时裂纹梁的模态曲率。该图表明，裂纹的产生会对裂纹附近区域的模态曲率引起扰动，只要这些扰动不互相干扰，就能明确地从模态曲率的突起指明裂纹出现的位置。

图11 裂纹产生后悬臂梁前三阶模态曲率Fig.11 The first three orders of mode shape curvatures for cracked cantilever beam

图12 第2条裂纹产生后悬臂梁前两阶频率比随裂纹位置变化而变化的曲线图Fig.12 Relative frequency ratio of the(a)first mode and(b)second mode versus relative location change of the second crack for the cantilever beam with one crack at given locations

图13 两条裂纹产生后悬臂梁前三阶模态曲率Fig.13 The first three orders of mode shape curvatures for cantilever beam with two cracks

4 结论

本文推导了带多条裂纹欧拉梁的动力学控制方程。基于摄动法求解方程获得了带多条裂纹欧拉梁的特征值和模态振型的近似解析表达式。然后以带裂纹简支梁和悬臂梁为算例，通过和有限元数值计算结果以及与已有实验测试结果的比对验证了方法的准确性，分析了裂纹深度和位置对梁模态频率和模态振型的影响。分析结果表明:裂纹引起的梁各阶模态频率的变化有着固定的模式，如果可以准确量测到各阶模态的相对变化模式，就可以确定结构损伤的位置;在裂纹深度不大时，带多条裂纹梁的频率相对变化为各单条裂纹引致的梁频率相对变化的乘积;裂纹会引致模态曲率在裂纹位置附近发生明显的突起，可用于判断结构损伤的位置和严重程度;只要这些突起区域不互相重叠，就能明确地从模态曲率的突起一一判断出每条裂纹出现的位置。

［1］Chondros T G，Dimarogonas A D，Yao J.A continuous cracked beam vibration theory［J］.Journal of Sound and Vibration，1998，215(1):17 －34.

［2］Yang X F，Swamidas A S，Seshadri R.Crack identification in vibrating beams using the energy method［J］.Journal of Sound and Vibration，2001，244(2):339 －357.

［3］Patil D P，Maiti S K.Experimental verification of a method of detection of multiple cracks in beams based on frequency measurements［J］.Journal of Sound and Vibration，2005，281(1－2):439－451.

［4］Sekhar A S.Multiple cracks effects and identification［J］.Mechanical Systems and Signal Processing，2008，22(4):845－878.

［5］Zhang X Q，Han Q，Li F.Analytical approach for detection of multiple cracks in a beam ［J］.Journal of Engineering Mechanics－ASCE.2010，136(3):345 －357.

［6］Attar M.A transfer matrix method for free vibration analysis and crack identification of stepped beams with multiple edge cracks and different boundary conditions［J］.International Journal of Mechancial Sciences，2012，57(1):19 －33.

［7］王术新，姜 哲.裂缝悬臂梁的振动特性及其裂缝参数识别［J］.振动与冲击，2003，22(3):83－85.WANG Shu－xin，JIANG Zhe，Analyasis of the effect of crack on the vibration dynamic behavior and the crack identification of a cantilever beams［J］.Journal of Vibration and Shock，2003，22(3):83－85.

［8］胡家顺，冯 新，李 昕，等.裂纹梁振动分析和裂纹识别方法研究进展［J］.振动与冲击，2007，26(11):146－152.HU Jia－shun，FENG Xin，LI Xin，et al.Stage－of－art of vibration analysis and crack identification of cracked beams［J］.Journal of Vibration and Shock，2007，26(11):146－152.

［9］胡家顺，孙文勇，周 晶.含圆周非贯穿裂纹悬臂管道的振动分析与裂纹识别［J］.振动与冲击，2011，30(5):18－22.HU Jia－shun，SUN Wei－yong，ZHOU Jing.Vibration analysis and crack identification of a cantilever pipe with a circumferential part－through crack［J］.Journal of Vibration and Shock，2011，30(5):18－22.

［10］Luo H，Hanagud S.An integral equation for changes in the structural dynamics characteristics of damaged structures［J］.International Journal of Solids and Structures，1997，34(35 －36):4557－4579.

［11］Lestari W.Damage ofcomposite structures:Detection technique，dynamic response and residual strength［D］.United States—Georgia:Georgia Institute of Technology，2001.

［12］Sharma V K，Ruzzene M，Hanagud S.Perturbation methods for the analysis of the dynamic behavior of damaged plates［J］.International Journal of Solids and Structures，2006，43(16):4648－4672.

［13］Suhuan C.Matrix perturbation theory in structural dynamic design［M］.Beijing:Science Press，2007.

［14］Clough R W，Penzien J.Dynamic of structures［M］.Mcgraw－Hill College，New York，1995.

［15］Kam T Y，Lee T Y.Detection of crack in structures using modal test data［J］.Engineering Fracture Mechanics，1992，42:381－387.