高速铁路测量中高斯平面坐标与斜轴墨卡托平面坐标的转换

田林亚，祖力比亚·阿布都热西提，张勇，热比亚·依马尔

(河海大学地球科学与工程学院，南京 210098)

近些年来，中国的高速铁路建设得到了快速的发展。高速铁路作为一种精密工程，对工程测量各个环节都提出了更高的要求。例如，根据《客运专线无砟轨道铁路工程测量技术暂行规定》的技术要求，高速铁路测量的平面坐标系应采用独立坐标系，建立坐标系时应满足投影的长度变形不超过10 mm/km。对于大致呈东西走向的线路来说，如果采用高斯投影方法建立独立坐标系，就需要划分多个投影带进行投影才能满足上述要求，这样就产生了多个独立的坐标系，产生了坐标系不统一和邻带坐标的换算等问题。如果采用斜轴墨卡托投影方法建立坐标系，投影时将圆柱面相切于线路中心线附近，这样既可以保证投影的长度变形值不大于10 mm/km，且可以获得统一的坐标系。本文主要研究高斯平面坐标向斜轴墨卡托平面坐标的转换模型，并结合实际工程数据进行计算与分析。

1 由高斯平面坐标计算斜轴墨卡托平面坐标的模型

墨卡托投影是一种保角圆柱投影，它以圆柱作为投影面，将经纬线先投影到圆柱面上，再将圆柱面展开成平面。圆柱面与地球相切，当切线处于斜位的状态下时便为斜轴墨卡托投影，如图1所示。

图1 斜轴墨卡托投影

采用斜轴墨卡托投影时，如果把地球视为椭球，计算过程将极其繁琐与不便，在几百千米的范围内把地球视为半径相同的圆球是可行的，如果线路太长，则可以采用分段处理的方法。值得注意的是，在大范围内把地球看做圆球来处理所产生的误差将是不容忽略的。

1.1 投影圆球体的选取

斜轴墨卡托投影中，投影圆球的定位应满足:参考圆球体的中心位于国家空间直角坐标系的Z轴上;定向应满足参考圆球体三维坐标系的Z轴与国家空间直角坐标系的Z轴重合，X轴和Y轴分别与国家空间直角坐标系的X轴和Y轴平行。

设线路中某个已知点在国家坐标系中的高斯平面坐标为(B，L)，由高斯投影反算公式(1)可计算该点在国家坐标系中的大地坐标(B，L)。

式中，l为经差，Bf为垂足纬度，ηf、tf分别为按 Bf值计算的相应量。

再根据式(2)，由该点的国家大地坐标(B，L，H)计算其空间直角坐标(X，Y，Z)。

现假设参考圆球体中心O'位于国家参考椭球中心O下方，如图2所示，O'O的长度为S，那么线路上该点在以O'为原点的空间直角坐标系中的坐标为(X，Y，Z+S)。定义圆球的半径为 R，R根据式(3)计算得到。

图2 参考圆球体示意

根据式(3)可列出如下误差方程式

式中，S0和 R0分别为 S和 R的初始值，R0

当线路中有2个以上已知点时，可通过最小二乘法求得dS和dR，从而计算出S和R。

1.2 计算任意一点相对于参考圆球体的大地坐标

因为地球参考圆球的定向、定位与地球参考椭球的定向、定位原理是一样的，所以在计算任意一点位于参考圆球体上的大地坐标(φ1，λ1，H1)时，可采用式(6)计算得到。

式中，φ1为纬度，λ1为经度，H1为大地高。

1.3 计算任意一点相对于圆球体和斜轴的大地坐标

如图3所示，假设AB为线路走向上的两点。首先在球面上建立以A点为极点、以AP为极轴的球面坐标系，根据球面三角公式可推得式(7)，并可计算出线路上任意一点的极坐标(θ，ρ)。

图3 斜轴投影大地坐标计算示意

其次，确定斜轴圆球。以过AB的大圆弧为中央子午线，则沿线任意一点各点在斜轴圆球上以A为极点、AB 为极轴的极坐标 θ'和 ρ'为

式中，θB为B点的 θ坐标。

最后，计算任意一点在斜轴圆球上的大地坐标。取极点A为工程独立坐标系的原点，则极点A在斜轴圆球上的经纬度为(0，0)。根据球面三角公式可得到由极坐标计算大地坐标的计算公式:

式中，(φ2，λ2)为所求点在斜轴圆球上的经纬度。

1.4 参考圆球体的投影正算

投影正算就是根据投影条件将参考圆球面上的大地坐标(φ2，λ2)换算成投影面上的平面坐标(xm，ym)。基于斜轴圆球体的投影正算与高斯投影正算类似，等角投影的条件是

式中，r为平行圈半径，M为卯酉圈半径。当投影球体为圆球时，其条件式可表达为

参考高斯投影正算公式，由于 xm是经度差λ2的偶函数，ym是λ2的奇函数，可假设

其中，a0、a1、a2、a3…为只包含 φ2的函数，且 φ2、λ2应化为弧度形式，对式(12)求偏导得

将式(12)、式(13)分别代入式(10)中，由于在起点处有λ2=0，则点(0，φ2)投影后的平面坐标为(R·φ2，0)，即 xm=a0=R·φ2，因此解得各个系数为

式中，(φ2，λ2)为所求点在斜轴圆球上的经纬度，R为圆球半径。将上述系数代入式(11)，便可求得任意一点的斜轴墨卡托平面坐标(xm，ym)。

2 实例计算与分析

如图4所示，设某条高速铁路线路长400 km，宽15 km，大致呈东西走向，首级平面控制网中的6个控制点采用GPS测量，并将测量成果转换为北京54坐标系中的平面坐标，为了控制投影的长度变形值不大于10 mm/km，分成6个高斯投影带进行投影，其高斯平面坐标及投影变形见表1。

图4 线路及控制点略图

表1 高斯平面坐标及投影变形

从表1数据可以看出，将线路首级平面控制网分成6个投影带进行投影和平差计算，每个控制点到相应投影带中央子午线的投影长度变形都小于10 mm/km，满足了有关高速铁路测量规范的要求，但是分成6个投影带分别进行投影计算，就形成了6个独立平面坐标系，产生了坐标系不统一的问题，在相邻点的综合使用过程中，不仅需要频繁的换带计算，还可能存在较大的投影变形。

如果采用斜轴墨卡托投影方法来建立平面坐标系，并且取点 ZX1为起点，取点 ZX6为终点，取点ZX1和点ZX6所在圆弧为斜轴墨卡托的投影中线，根据本文探讨的坐标转换方法和流程，采用C号.NET编写相应的坐标转换计算程序，将表1中的高斯平面坐标换算成斜轴墨卡托平面坐标，结果见表2。

表2 斜轴墨卡托平面坐标及投影变形

从表2的数据可以看出，斜轴墨卡托投影产生的长度变形远小于高斯投影产生的长度变形。ZX5距离投影中线的距离为12 km，投影变形最大，但是远小于10 mm/km。采用斜轴墨卡托投影，这6个控制点同属一个坐标系，坐标系也得到了统一。

另外，对斜轴墨卡托投影进行有关计算表明:当线路长度为几百千米时，为了使所有的投影变形小于10 mm/km，线路至投影中线的最大横向距离应小于25 km;如果线路长度达到几千千米或者最大横向距离超过25 km，应该将线路分成几段进行投影，且相邻投影带之间应有适当的重叠区域。

3 结论

对于呈东西走向的高速铁路，在建立平面坐标系时应特别注意投影的长度变形问题。当线路较长时，为了控制长度投影变形，可以采用高斯分带投影，但也因此产生了坐标系不统一问题，如果分带过多，在控制点坐标的使用中也带来了坐标换带计算的麻烦。采用斜轴墨卡托投影，可有效地解决高斯分带投影导致的一些问题。

本文对高斯平面坐标向斜轴墨卡托平面坐标的转换模型进行了研究，详细地阐述了坐标转换的方法及其流程。对某条长约400 km的高速铁路测量数据，先采用高斯分带投影的方法进行控制点坐标及投影变形的计算，认为分6个带投影可以满足投影变形不大于10 mm/km的要求，但同时也产生了6个独立坐标系。采用斜轴墨卡托投影和本文研究的坐标转换方法，不仅显著地减小了投影变形，也将6个高斯带中的坐标转换到1个斜轴墨卡托投影带中，使6个控制点的坐标系统得到了统一。计算、分析和实际应用表明，本文研究的方法是正确的。

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