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高速铁路测量中高斯平面坐标与斜轴墨卡托平面坐标的转换

2013-05-30田林亚祖力比亚阿布都热西提张勇热比亚依马尔

铁道标准设计 2013年4期
关键词:圆球高斯高速铁路

田林亚,祖力比亚·阿布都热西提,张勇,热比亚·依马尔

(河海大学地球科学与工程学院,南京 210098)

近些年来,中国的高速铁路建设得到了快速的发展。高速铁路作为一种精密工程,对工程测量各个环节都提出了更高的要求。例如,根据《客运专线无砟轨道铁路工程测量技术暂行规定》的技术要求,高速铁路测量的平面坐标系应采用独立坐标系,建立坐标系时应满足投影的长度变形不超过10 mm/km。对于大致呈东西走向的线路来说,如果采用高斯投影方法建立独立坐标系,就需要划分多个投影带进行投影才能满足上述要求,这样就产生了多个独立的坐标系,产生了坐标系不统一和邻带坐标的换算等问题。如果采用斜轴墨卡托投影方法建立坐标系,投影时将圆柱面相切于线路中心线附近,这样既可以保证投影的长度变形值不大于10 mm/km,且可以获得统一的坐标系。本文主要研究高斯平面坐标向斜轴墨卡托平面坐标的转换模型,并结合实际工程数据进行计算与分析。

1 由高斯平面坐标计算斜轴墨卡托平面坐标的模型

墨卡托投影是一种保角圆柱投影,它以圆柱作为投影面,将经纬线先投影到圆柱面上,再将圆柱面展开成平面。圆柱面与地球相切,当切线处于斜位的状态下时便为斜轴墨卡托投影,如图1所示。

图1 斜轴墨卡托投影

采用斜轴墨卡托投影时,如果把地球视为椭球,计算过程将极其繁琐与不便,在几百千米的范围内把地球视为半径相同的圆球是可行的,如果线路太长,则可以采用分段处理的方法。值得注意的是,在大范围内把地球看做圆球来处理所产生的误差将是不容忽略的。

1.1 投影圆球体的选取

斜轴墨卡托投影中,投影圆球的定位应满足:参考圆球体的中心位于国家空间直角坐标系的Z轴上;定向应满足参考圆球体三维坐标系的Z轴与国家空间直角坐标系的Z轴重合,X轴和Y轴分别与国家空间直角坐标系的X轴和Y轴平行。

设线路中某个已知点在国家坐标系中的高斯平面坐标为(B,L),由高斯投影反算公式(1)可计算该点在国家坐标系中的大地坐标(B,L)。

式中,l为经差,Bf为垂足纬度,ηf、tf分别为按 Bf值计算的相应量。

再根据式(2),由该点的国家大地坐标(B,L,H)计算其空间直角坐标(X,Y,Z)。

现假设参考圆球体中心O'位于国家参考椭球中心O下方,如图2所示,O'O的长度为S,那么线路上该点在以O'为原点的空间直角坐标系中的坐标为(X,Y,Z+S)。定义圆球的半径为 R,R根据式(3)计算得到。

图2 参考圆球体示意

根据式(3)可列出如下误差方程式

式中,S0和 R0分别为 S和 R的初始值,R0

当线路中有2个以上已知点时,可通过最小二乘法求得dS和dR,从而计算出S和R。

1.2 计算任意一点相对于参考圆球体的大地坐标

因为地球参考圆球的定向、定位与地球参考椭球的定向、定位原理是一样的,所以在计算任意一点位于参考圆球体上的大地坐标(φ1,λ1,H1)时,可采用式(6)计算得到。

式中,φ1为纬度,λ1为经度,H1为大地高。

1.3 计算任意一点相对于圆球体和斜轴的大地坐标

如图3所示,假设AB为线路走向上的两点。首先在球面上建立以A点为极点、以AP为极轴的球面坐标系,根据球面三角公式可推得式(7),并可计算出线路上任意一点的极坐标(θ,ρ)。

图3 斜轴投影大地坐标计算示意

其次,确定斜轴圆球。以过AB的大圆弧为中央子午线,则沿线任意一点各点在斜轴圆球上以A为极点、AB 为极轴的极坐标 θ'和 ρ'为

式中,θB为B点的 θ坐标。

最后,计算任意一点在斜轴圆球上的大地坐标。取极点A为工程独立坐标系的原点,则极点A在斜轴圆球上的经纬度为(0,0)。根据球面三角公式可得到由极坐标计算大地坐标的计算公式:

式中,(φ2,λ2)为所求点在斜轴圆球上的经纬度。

1.4 参考圆球体的投影正算

投影正算就是根据投影条件将参考圆球面上的大地坐标(φ2,λ2)换算成投影面上的平面坐标(xm,ym)。基于斜轴圆球体的投影正算与高斯投影正算类似,等角投影的条件是

式中,r为平行圈半径,M为卯酉圈半径。当投影球体为圆球时,其条件式可表达为

参考高斯投影正算公式,由于 xm是经度差λ2的偶函数,ym是λ2的奇函数,可假设

其中,a0、a1、a2、a3…为只包含 φ2的函数,且 φ2、λ2应化为弧度形式,对式(12)求偏导得

将式(12)、式(13)分别代入式(10)中,由于在起点处有λ2=0,则点(0,φ2)投影后的平面坐标为(R·φ2,0),即 xm=a0=R·φ2,因此解得各个系数为

式中,(φ2,λ2)为所求点在斜轴圆球上的经纬度,R为圆球半径。将上述系数代入式(11),便可求得任意一点的斜轴墨卡托平面坐标(xm,ym)。

2 实例计算与分析

如图4所示,设某条高速铁路线路长400 km,宽15 km,大致呈东西走向,首级平面控制网中的6个控制点采用GPS测量,并将测量成果转换为北京54坐标系中的平面坐标,为了控制投影的长度变形值不大于10 mm/km,分成6个高斯投影带进行投影,其高斯平面坐标及投影变形见表1。

图4 线路及控制点略图

表1 高斯平面坐标及投影变形

从表1数据可以看出,将线路首级平面控制网分成6个投影带进行投影和平差计算,每个控制点到相应投影带中央子午线的投影长度变形都小于10 mm/km,满足了有关高速铁路测量规范的要求,但是分成6个投影带分别进行投影计算,就形成了6个独立平面坐标系,产生了坐标系不统一的问题,在相邻点的综合使用过程中,不仅需要频繁的换带计算,还可能存在较大的投影变形。

如果采用斜轴墨卡托投影方法来建立平面坐标系,并且取点 ZX1为起点,取点 ZX6为终点,取点ZX1和点ZX6所在圆弧为斜轴墨卡托的投影中线,根据本文探讨的坐标转换方法和流程,采用C号.NET编写相应的坐标转换计算程序,将表1中的高斯平面坐标换算成斜轴墨卡托平面坐标,结果见表2。

表2 斜轴墨卡托平面坐标及投影变形

从表2的数据可以看出,斜轴墨卡托投影产生的长度变形远小于高斯投影产生的长度变形。ZX5距离投影中线的距离为12 km,投影变形最大,但是远小于10 mm/km。采用斜轴墨卡托投影,这6个控制点同属一个坐标系,坐标系也得到了统一。

另外,对斜轴墨卡托投影进行有关计算表明:当线路长度为几百千米时,为了使所有的投影变形小于10 mm/km,线路至投影中线的最大横向距离应小于25 km;如果线路长度达到几千千米或者最大横向距离超过25 km,应该将线路分成几段进行投影,且相邻投影带之间应有适当的重叠区域。

3 结论

对于呈东西走向的高速铁路,在建立平面坐标系时应特别注意投影的长度变形问题。当线路较长时,为了控制长度投影变形,可以采用高斯分带投影,但也因此产生了坐标系不统一问题,如果分带过多,在控制点坐标的使用中也带来了坐标换带计算的麻烦。采用斜轴墨卡托投影,可有效地解决高斯分带投影导致的一些问题。

本文对高斯平面坐标向斜轴墨卡托平面坐标的转换模型进行了研究,详细地阐述了坐标转换的方法及其流程。对某条长约400 km的高速铁路测量数据,先采用高斯分带投影的方法进行控制点坐标及投影变形的计算,认为分6个带投影可以满足投影变形不大于10 mm/km的要求,但同时也产生了6个独立坐标系。采用斜轴墨卡托投影和本文研究的坐标转换方法,不仅显著地减小了投影变形,也将6个高斯带中的坐标转换到1个斜轴墨卡托投影带中,使6个控制点的坐标系统得到了统一。计算、分析和实际应用表明,本文研究的方法是正确的。

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