幂的“变”“凑”曲
2013-05-27徐向荣
徐向荣
幂的运算是整式运算的基础,因此学好幂的运算就是为后面继续学习夯实基础.本文重点介绍幂的运算中常用的技巧:“二变二凑”.
技巧一:变底数
例1 若2x+5y=3,求4x·32y的值.
解:4x·32y=22x·25y=22x+5y=23=8.
例2 设x=3m,y=27m+2,用含x的代数式表示y,则y=________.
解:y=(33)m+2=33m+6=33m·36=(3m)3·36=x3·729=729x3.
【点评】例1将底数4和32换成2为底,再利用幂的乘方和同底数幂乘法法则得到22x+5y,利用整体代换的方法求出结果为8.例2将27换成33,将幂的乘方法则和同底数幂乘法法则顺向和逆向使用,从而得到y=729x3.
技巧二:变指数
例3 若a=2555,b=3444,c=6222,请比较a,b,c的大小,用“>”连接.
解:a=2555=25×111=(25)111=32111,
b=3444=34×111=(34)111=81111,
c=6222=62×111=(62)111=36111.
因为81>36>32,所以b>c>a.
例4 3-108与2-144的大小关系是_______.
解:3-108=(3-3)36=■36,2-144=(2-4)36=■36,
因为■<■,所以3-108<2-144.
【点评】例3,例4都是先将指数化为相同的数,再比较底数的大小,找到指数的最大公约数,熟练地正向和反向使用幂的乘方法则是关键.
技巧三:凑出“1”
例5 计算■2012×(1.5)2013×(-1)2013.
解:原式=■2012×■2013×(-1)=-■×■2012×■=-■.
例6 计算-■2011×2■2012的值.
解:原式=-■2011×■2011×■
=-■×■2011×■=-■.
【点评】例5逆用积的乘方法则以及幂的乘方公式凑出“1”,例6先定积的符号为负,再用例5的方法凑出“1”使运算变得简便.
技巧四:凑整体
例7 已知10m=20,10n=■,求9m÷32n的值.
解:因为9m÷32n=32m÷32n=32m-2n=32(m-n),
而10m=20,10n=■,所以10m÷10n=20×5=100,
所以10m-n=102,所以m-n=2,所以9m÷32n=32(m-n)=32×2=34=81.
例8 已知a2+a=1,求2 013a3+4 025a2-a的值.
解:原式=2 013a3+2 013a2+2 012a2-a
=2 013a(a2+a)+2 012a2-a
=2 013a+2 012a2-a
=2 012a2+2 012a
=2 012(a2+a)
=2 012.
【点评】例7在变底数为3后就缺m-n的值,所以利用已知条件借助同底数幂的除法构造m-n这个整体,从而顺利解题.例8借助提取公因式反复构造a2+a,利用a2+a=1反复整体代换,使解题变得简便.