学好“幂的运算”三点建议

毛建国

本章是在学习了有理数乘方的基础上研究幂的运算：同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法.这些运算是今后学习整式乘法运算的基础.学习本章，要了解整数指数幂的意义和基本性质，能正确运用这些性质进行计算，会用科学记数法表示数.如何学好幂的运算？下面给出三点建议.

一、 牢固掌握四条运算性质是基础

1. 同底数幂的乘法的运算性质：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.用字母表示为：am·an=am+n（m、n是正整数）.

同底数幂的乘法法则是本章中的第一个幂的运算性质，也是整式乘法的主要依据之一，学习这个性质应注意以下几点：

（1） 该表达式中，等式左边是两个幂相乘，且它们的底数相同；等式右边也是一个幂，与左边相比，底数不变，指数是左边两个指数的和.

（2） 底可以是一个具体的数或字母，也可以是一个单项式或多项式，如：（x-2y）2·（x-2y）3=（x-2y）5，底数是多项式（x-2y）.

（3） 这个性质可以推广到三个或三个以上的同底数幂相乘，即am·an·ap=am+n+p（m、n、p是正整数）.

（4） 不要与整式加法混淆. 同底数幂乘法是只要求底数相同则可用法则计算，即底数不变指数相加，如：a4·a2=a4+2=a6；而整式加法法则要求两个相同——底数相同且指数也必须相同，实际上是合并同类项，如：-3a4+2a4=（-3+2）a4=-a4，而a4+a2不能进行运算.

2. 幂的乘方的运算性质：幂的乘方，底数不变，指数相乘.用字母表示为：（am）n=amn（m、n是正整数）.

该性质的显著特点就是将原来的乘方运算降次为乘法运算，即底数不变，指数相乘.学习这个性质要注意两点：

（1） 幂的底数a可以是具体的数，也可以是多项式.如[（x+y）3]2=（x+y）6，底数（x+y）是一个多项式.

（2） 要注意与同底数幂的乘法的区别和联系.区别：幂的乘方是把指数相乘，同底数幂的乘法是把指数相加，不要出现下面的错误，如：（x3）5=x8，x3·x5=x15；联系：两种运算都是底数不变.

3. 积的乘方的运算性质：积的乘方，等于把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.用字母表示为：（ab）n=anbn（m、n是正整数）.

学习这个性质要注意：积的乘方可推广到3个以上因式的积的乘方：（a1·a2·…·an）m=a1m·a2m·…·anm，这样方便运用，如：（-2a2b）3=（-2）3（a2）3b3=-8a6b3.

4. 同底数幂除法的运算性质：同底数幂相除，底数不变，指数相减.用字母表示为：am÷an=am-n（m、n是正整数，m>n，a≠0）.

同底数幂的除法法则是根据除法是乘法的逆运算归纳总结出来的，和同底数幂的乘法是互逆运算关系，同时指数的变化也是互逆运算关系，和上面讲的幂的3个运算性质相比，这里底数a是不能为零的，否则除数为零，除法就没有意义了.又因为在这里没有引入负指数和零指数，所以又添加条件m>n.

同底数幂的除法性质也可以推广到3个以上的同底数幂除法：am÷an÷ap=am-n-p（a≠0，m、n、p都是正整数），公式中的a可以是具体的数，也可以是单项式或多项式，但字母取值要满足底数不等于0.

学习这个性质还要注意“两个规定、一个方法”.

规定1：a0=1（a≠0）.

两个同底数幂相除，如果被除式的指数与除式的指数相等，那么商等于1，即am÷am=am-m=a0=1（m是正整数，a≠0） ，所以我们规定：a0=1（a≠0）（即任何一个不等于0的数的0次幂等于1），00无意义 .

规定2：a-p=■（a≠0，p是正整数）.

由am÷an=am-n，当a≠0，m

科学记数法：根据规定2得■=10-m，因此，任何一个小于1的正数，都可写成a×10n的形式，其中1≤a<10，即a是带一位整数的小数或一位整数，n是一个负整数，它的绝对值等于原数中从左往右第一个不为零的数字前面所有零的个数（包括小数点前的一个0）.如0.000 23，用科学记数法可以表示为2.3×10-4.

二、 明确运算顺序、合理进行混合运算是关键

在遇到幂的混合运算时，不要急于求成、盲目进行计算，首先要细心观察，分清各个部分分别属于哪种运算，然后再确定合理的运算顺序和运算步骤，先算什么，后算什么，一定要做到心中有数；计算时，应注意符号和指数的变化，不要漏掉了某些因数的乘方.一般情况下，先运算积的乘方和幂的乘方，然后按照先后顺序，运算同底数幂的乘法和同底数幂的除法，最后算加减.

例1 计算：（1） （ab）5·3a2·（4a2b3）3；（2） 2（x4）2·x-（3x3）3+（5x）3·x6.

【分析】问题（1）中的第一个因式和第三个因式属于积的乘方，应先运算；问题（2）中有幂的乘方，也有积的乘方，也应该先算，最后再算加减.在计算它们的过程中又出现了新的运算，这就要求同学们能够随时进行观察，以便准确判断出新运算属于什么运算，然后再根据相应的运算性质解题.

解：（1） （ab）5·3a2·（4a2b3）3=a5b5·3a2·43（a2）3（b3）3

=a5b5·3a2·64a6b9=192a13b14；

（2） 2（x4）2·x-（3x3）3+（5x）3·x6=2x8·x-27x9+53x3·x6

=2x9-27x9+125x9=100x9.

三、 灵活运用性质是后盾

对于幂的运算性质，不仅要学会从左到右的正向运用，对于底数和指数都不相同的问题，还要善于根据题目的特点，结合乘方的意义，学会从右到左的逆向运用.逆向运用幂的运算性质，不仅能化繁为简，同时对于培养同学们的观察能力、分析转化问题的能力有着积极的意义.另外，同学们既要有依照运算性质逐层分步计算的细致，又要有纵观全局的整体意识，善于从显现的表象挖掘隐藏的结构特点，只有这样，才算真正掌握幂的运算性质.

例2 已知am=2，an=3，求a2m+n的值.

【分析】本章中幂的运算法则既可以正向应用，又可以逆向应用.如公式am·an=am+n逆向运用为 am+n=am·an（m、n是正整数），公式（am）n=amn逆向运用为anm=（am）n=（an）m（m、n是正整数）等.

解：a2m+n=a2m·an=（am）2·an=22×3=12.

例3 已知2x+5y=4，求4x·32y的值.

【分析】此题中2x+5y=4如何使用？4x·32y与2x+5y=4有何联系？通过观察可知，把4x、32y的底数都变为2后，利用同底数幂的乘法法则得2的指数为2x+5y，进而将2x+5y=4整体代入即可.

解：4x·32y=（22）x·（25）y=22x·25y=22x+5y=24=16.