与对合矩阵可交换的反对合矩阵

2013-05-24王洁黄益生

三明学院学报 2013年4期

关键词：重数三明角化

王洁，黄益生

（三明学院信息工程学院，福建三明365004）

与对合矩阵可交换的反对合矩阵

王洁，黄益生

（三明学院信息工程学院，福建三明365004）

对合矩阵；反对合变换；矩阵的相似关系；特征值

众所周知矩阵的乘法不满足交换律。讨论两个矩阵的乘积是否可交换的问题，历来是矩阵论中的热门话题。近年来，这方面的研究文章仍然时有出现。在文献[1]中，作者讨论了与对称矩阵可交换的反对称矩阵。在文献[2]中，作者讨论了这个问题的反问题，即与反对称矩阵可交换的对称矩阵。在文献[3]中，作者讨论了对合矩阵与反对合矩阵的有关性质。在本文中将初步探讨与对合矩阵可交换的反对合矩阵。主要结果如下：

（1）给出了与n阶对合矩阵可交换的反对合矩阵的一种表示；

（2）对于2阶对合矩阵A，如果A≠±I（I是单位矩阵），那么与A可交换的反对合矩阵一共有4个，它们是±iI和±iA；

（3）对于3阶对合矩阵A，如果A≠±I，那么与A可交换的全体反对合矩阵为±iI和±iA，以及

其中k是任意复数，l是任意非零复数；当tr（A）=-1时，P是A与diag{1，-1，-1}这一对相似矩阵之间的相似因子；当tr（A)=1时，P是A与diag{-1，1，1}之间的相似因子。

本文引用文献[4～5]的符号、术语和结论，不再另加说明。

定义[3]设A是数域F上的一个n阶方阵。若A2=I，则称A为一个对合矩阵；若A2=-I，则称A为一个反对合矩阵，这里I是n阶单位矩阵。

根据上述定义，不难看出，在任意数域上，对合矩阵都有特征值，其特征值只能为1或-1，在复数域上，反对合矩阵的特征值只能为i或者-i。

命题1[6]设A是数域F上的一个n阶对合矩阵。如果A一个特征值为1（或-1），那么它只能是n阶单位矩阵I（或I的负矩阵-I）；如果A既有特征值1，又有特征值-1，那么它相似于准对角矩阵diag{Ir，-In-r}，这里r是特征值1的几何重数，Ir是r阶单位矩阵。

注意到diag{Ir，-In-r}实际上是一个对角矩阵，根据命题1，每一个n阶对合矩阵（在任意数域上）都可对角化。下面的命题2表明，每一个n阶反对合矩阵（在复数域上）都可对角化。

命题2[7]设A是复数域上的一个n阶对合矩阵。如果A只有只有一个特征值为i（或-i），那么它只能是纯量矩阵iI（或-iI）；如果A既有特征值i，又有特征值-i，那么它相似于准对角矩阵diag {iIr，iI}，这里r是特征值1的几何重数，Ir是r阶单位矩阵。

命题3在复数域上，全体2阶反对合矩阵可以分成5种类型：

其中I是2阶单位矩阵，k是任意复数，l是任意非零复数。

证明：设A是一个2阶反对合矩阵。根据命题2，A是可对角化的，并且它的两个特征值只能为i 或-i。如果A的特征值全为i，因为A是可对角化的，特征值i的几何重数等于2，从而iI-A的秩等于零，因此iI-A是零矩阵，即iI-A=0，故A=iI。类似地，可以证明，如果A的特征值全为-i，那么A=-iI。

另一方面，容易验证，上述5类矩阵都是反对合的（其中iI和-iI这两个矩阵各自构成一个类)。因此在复数域上，全体2阶反对合矩阵可以分成上述5种类型。

下面讨论与对合矩阵可交换的反对合矩阵。

设A是复数域上的一个n阶对合矩阵。根据命题1，矩阵A相似于diag{Ir，-In-r}，其中r是特征值1的几何重数，当r=n时，有A=I,当r=0时，有A=-I。显然，对于这两种情形，每一个n阶反对合矩阵都与A可交换。不妨设r≠n且r≠0。因为A相似于diag{Ir，-In-r}，存在一个n阶可逆复矩阵P，使得P-1AP=diag{Ir，-In-r},即A=Pdiag{Ir，-In-r}P-1。设X是与A可交换的反对合矩阵，则AX=XA，即

由最后一个等式，容易验证Y是形如diag{B1,B2}的准对角矩阵，其中B1是一个r阶小方阵，B2是一个nr阶小方阵。已知X是反对合的，那么由Y=P-1XP可见，Y也是反对合的。再由Y=diag{B1,B2}，不难看出B1,B2都是反对合的。从而由X=PXP-1看到与A可交换的反对合矩阵可以表示成Pdiag{B1,B2}P-1，其中小方阵B1与B2都是反对合的。另一方面，设B1是一个r阶反对合矩阵，B2是一个n-r阶矩阵。令

容易验证，X是一个n阶反对合矩阵，并且A和X是可交换的。综上所述，得到定理1。

定理1设A是复数域上的一个n阶对合矩阵，并设r是特征值1的几何重数。

（1）如果r=n或r=0（即A=±I），那么每一个n阶反对合矩阵都与A可交换。

（2）如果0＜r＜n，那么与A可交换的反对合矩可以表示成Pdiag{B1,B2}P-1，其中B1是任意r阶反对合矩阵，B2是任意n-r反对合阶矩阵，P是A与diag{Ir，-In-r}这一对相似矩阵之间的一个相似因子。

利用定理1，可以求出与2阶对合矩阵或3阶对合矩阵可交换的全体反对合矩阵。

事实上，设A是复数域上的一个2阶对合矩阵。如果A≠±I，那么A的两个特征值为1和-1,。因为A是可对角化的，存在一个2阶可逆复矩阵P，使得

根据定理1，与A可交换的反对合矩阵为Pdiag{b1,b2}P-1，其中b1与b2是两个复数（1阶方阵）使得=-1,且=-1，所以b1=±i且b2=±i，因此与A可交换的反对合矩阵一共有4个，它们是Pdiag{±i，±i}P-1。这4个矩阵也可以写成±iPdiag{1，1}P-1和±iPdiag{1，-1}P-1，显然前者就是纯量矩阵±iI。由于A= Pdiag{1，-1}P-1，后者就是±iA。这就得到

推论1设A是复数域上的一个2阶对合矩阵。

（1）如果A=±I，那么每一个2阶反对合矩阵都与A可交换。

（2）如果A≠±I，那么与A可交换的反对合矩阵一共有4个，它们是±iI和±iA。

其次，设A是一个3阶对合矩阵。如果A≠±I，那么A的3个特征值为1，-1，-1或1，1，-1。因为A是可对角化的，当它的特征值为1,-1，-1时，存在一个3阶可逆复矩阵P，使得