4 对数螺旋线滑面极限分析上限法

4 对数螺旋线滑面极限分析上限法

4.1 对数螺旋线滑裂面的讨论

对于均质土坡的稳定性分析评价，工程上常采用圆弧滑裂面的条分法。但由于土条间的作用力是非静定的，因此需要对土条上的作用力采用假设和简化的方法使其具有静定的性质。例如瑞典圆弧条分法假设作用于土条两侧的作用力大小相等，方向相反。采用对数螺旋线滑动面可以克服非静定问题，无需再作进一步假设和简化。对对数螺旋线滑动面而言，无论滑动面上正应力多大，正应力与摩擦力的合力作用线都经过对数螺旋线的坐标极点。因此，对坐标极点求力矩时，正应力与摩擦力的力矩为零，只需考虑黏聚力、重力及其他外力的作用。

由于圆弧滑动面为对数螺旋线的特殊情况（圆弧滑动面可以看成是土体有效内摩擦角φ=0时对数螺旋曲线的特例），因此利用对数螺旋曲线总可以逼近圆弧滑动面，Spence利用对数螺旋曲线条分法，计算土坡的稳定系数，计算结果表明，对数螺旋曲线总是可以逼近圆弧滑动面，并且利用圆弧滑动面所计算的最小稳定系数比利用对数螺旋曲线计算的最小稳定系数仅稍小一点。

陈惠发（1995）的专著《极限分析与土体塑性》中对均质土坡，采用变分计算法证明了对数螺旋曲线滑裂面是所有可能滑动面的临界面。这一结论为本章的滑裂面选取对数螺旋曲线提供了依据。

4.2 简单坡面的对数螺旋线破坏机制

首先，以均质土坡的简单坡面形式为研究起点，并假定对数滑裂面通过坡趾（即假定滑裂面通过坡脚C，见图4-1）。此时，对数螺旋线滑裂面的曲线方程可以写为

如图4-1所示，潜在滑体为曲边三角形ΑBC，它的绕动旋转中心为O，对数螺旋曲线ΑB为速度间断线。如图4-1（a）所示的几何关系有

又因为ΑC=H/sinβ，rh=r0·exp[(θh-θ0)]tanφ]，可得

若令线段ΑB的长度为L，则有以下的关系式存在

上式可以写为

则有

图4-1 均质土坡的对数螺旋线屈服机构

从式（4-3）和式（4-5）可看出，对给定坡高为H的均质土坡，当θ0，θh确定时，r0，L值即可确定，转动中心O的位置也被确定。因此用两个变量就能描述边坡的破坏机构。

根据塑性极限分析的虚功率原理，外力在机动许可速度场上的外力功率等于滑裂面的内能耗散。下面根据虚功率原理研究系统的平衡关系（秦四清，等，1999；钱家欢，等，1996；万林海，等，2006；任祥，等，2002）。

在BC曲线上对上式积分得

上式最终积分结果为

式中：

xM与Α，B两点的横坐标xΑ，xB间的关系为

所以

因此三角形区域OΑB土体自重的外力功率为

式中：

对于三角形OΑC区域，考虑到式（4-1）和式（4-5），得三角形OΑC的面积为

三角形OΑC形心的横坐标为

因此，三角形OΑC区域土体自重的外力功率为

式中：

将f1(θh,θ0)，f2(θh,θ0)，f3(θh,θ0)分别记为f1，f2，f3。因此，潜在滑体区域ABC土体重力的外力功率为

设坡顶作用有集度为q的均布条形荷载，如图4-1（a）所示，则条形荷载的外力功率为

式中：Mq为均布荷载对转动中心O的力矩。

沿对数螺旋线滑裂面ΑB产生的内能耗散率由耗散能的微分式沿整个滑面积分而得。由于单位间断面上能量的耗散功率等于黏聚力与穿过间断面的切向速度变化的乘积。沿间断面的微分面积为rθdθ/cosφ，切向速度间断值为vcosφ，在整个间断上积分，即得间断面（滑裂面）上总的内部能量耗散率

虚功率方程成立的条件是极限状态，将式（4-23）、（4-24）和式（4-26）中的黏聚力c和摩擦系数tanφ用稳定系数K进行强度折减，这样外力功率就可以等于内能耗散率了（W1-W2-W3+Wq=D）。具体做法是对边坡的抗剪强度参数c和tanφ同时除一个折减系数K，经过折减后的抗剪强度参数c' 和tanφ' 表达式为

根据虚功率方程，令外力功率与内能耗散率相等，并消除掉所有角速度项ω则得到土坡的极限平衡状态方程如下：

当不考虑坡顶部的均布荷载q时，式（4-28）进一步可以整理为

式中：

假定土坡处于极限平衡状态即K=1时，由式（4-29）可确定土坡的临界自稳高度Hmin=Hcr。当给定坡高时，强度折减系数K是两个待定变量θ0，θh的非线性隐式函数，可以利用式（4-29）的极值条件确定强度折减系数的临界值（即土坡的整体稳定系数）及其相应的临界破坏机构。极值条件及临界状态条件的方程为（王根龙，等，2007）

式（4-28）～式（4-31）中：φ'=arctan(tanφ/K)，特别注意，Α，f1，f2，f3和f4的表达式中隐含有φ，因此也应该对其折减。

采用迭代的方法，逐步折减土的强度参数（c与φ）直至获得的极限坡高等于土坡的实际高度，则此时的强度折减系数K为边坡的稳定系数解，与之相应的参数θ0，θh确定土坡的临界失稳机构。

4.3 滑动面不通过坡脚的情况

当对数螺旋线滑裂面不通过坡脚且顶面有一定倾角时（见图4-2），计算过程同滑动面通过坡脚一样，首先分别计算出OBC'O，OΑBO，OΑC'O和ΑCC'Α区土体所做的外功率W1、W2、W3和W4，然后根据迭代法求出由ΑBC'CΑ土体所做的外功率为

图4-2 均质边坡破坏机构（对数螺旋线通过坡脚下方）

将s1(θh,θ0)、s2(θh,θ0)，s3(θh,θ0)，s4(θh,θ0)简记为s1，s2，s3，s4，其表达式分别为

式中：

则有

内部能量耗散发生在滑裂面BC'上，表达式同式（4-26）。根据虚功率方程，令外力功率与内能耗散率相等，则得到土坡的极限平衡状态方程如下：

式中：

假定土坡处于极限平衡状态即K=1时，由式（4-43）可确定土坡的临界自稳高度Hmin=Hcr。当给定坡高时，强度折减系数K是3个待定变量θ0，θh和β'的非线性隐式函数，可以利用式（4-44）的极值条件确定强度折减系数的临界值（即土坡的整体稳定系数）及其相应的临界破坏机构。极值条件及临界状态条件的方程为

式中：Hactual表示土质边坡的实际高度。在公式（4-45）中，未知量分别为θ0、θh、β' 和折减系数K。因此，公式（4-45）不但给出了边坡的稳定系数K，而且给出了潜在滑裂面的位置。应特别注意，Α，s1，s2，s3和s4中隐含有φ，也应该依照强度折减法替换为φ'=arctan(tanφ/K)。

针对文献（Cao 和 Zaman，1999）中的算例，表4-1给出了式（4-45）和毕肖普法计算得到的稳定性分析结果对比。

表4-1 采用两种方法得到稳定系数对比

4.4 典型算例验证

为了验证这种方法的正确性，这里对一个典型算例进行了分析计算。该土质边坡高度H=13.7m，坡角β=30°。土的参数：黏聚力c=23.94kPa，内摩擦角φ=10°，重度γ=19.63kN·m-3。Hassiots等（1998）采用摩擦圆的方法对这个算例进行了稳定性分析计算，得到的稳定系数解为1.08。Hull 和 Poulous（1999）采用简化的毕肖普法（1955）对同一个算例进行了计算，得到的稳定系数解为1.12。文中通过公式（4-29）也对这个算例进行了计算，得到极限分析上限解为1.11。图4-3给出了三种不同分析方法搜索到的潜在滑面。对比分析显示，文中计算结果与已有解答十分接近。

图4-3 Hassiots et al., Hull and Poulous，以及极限分析上限法搜索得到的极限状态滑面