浅谈等差数列的灵活应用

潘丽平

等差数列是一种特殊的数列，它在高中数学中占据着重要地位.等差数列揭示了数列中任意连续两项的特殊性.项与项之间的特殊关系是它的突出特点，也是灵活应用的基础.笔者，从等差数列项与项的关系，阐述它的灵活应用.

一、等差数列中任意两项的关系

等差数列{an}中首项为a1，公差为d，则其通项公式为an=a1+（n-1）d.

即已知首项与公差，可以求出数列中的任一项.而在实际应用中常会遇到这样的类型题：

例1.已知等差数列{an}中，a3=4，公差d=2，求a7.

析：按常规做法必须先由a3=a1+2d求出a1，再代入通项公式求出a7；而若将已知条件a3=a1+2d与所求对象a7=a1+6d加以比较，不难发现a7=a3+（7-3）d.这样就可以一步到位，且又快又准.

由此可以将等差数列通项公式an=a1+（n-1）d.推广为an=am+（n-m）d.

即等差数列中任意两项的差是其对应序号差的公差倍.它弥补了通项公式的小小不足，在应用上起到了灵活、简便的作用.

二、等差数列中特殊三项的关系

一方面是等差数列中任意连续的三项成等差数列，另一方面是等差数列中若其中两项关于某一项成位置对称，则这三项成等差数列.这两方面可归纳为：

在等差数列{an}中，若m+n=2p，其中m，n，p∈N*，则am+an=2ap；即在等差数列中，若三项对应的序号成等差数列，则其对应的三项成等差数列.

在应用时只需观察项的序号关系，就可以很快知道项之间的关系.简便易行，容易灵活操作.

例2.在等差数列{an}中，a1+a9=10，求a5的值.

析：由2a5=a1+a9可很快求出a5=10.

例3.在等差数列{an}中a5=10，求S9.

析：S9=■=9a5=90.

三、等差数列中特殊四项的关系

在等差数列{an}中，若m+n=p+q其中m，n，p∈N*，则am+an=ap+aq；即在等差数列中，若其中两项的序号和等于另外两项的序号和，则这两项的和等于另外两项的和.

例4.已知等差数列{an}中，a7+a9=16，又a4=1，求a12的值.

析：由a4+a12=a7+a9可得a12=15.

例5.在等差数列{an}中，S10=100，S100=10，求S110 .

析：由S100-S10=a11+a12+…+a100

=■=45（a11+a100）

可得a11+a100=-2；而a1+a110=a11+a100，所以S110=■=-110

利用等差数列四项的特殊关系解答，省去很多不必要的计算.比起常规的做法先求首项a1和公差d，再求S110要方便得多.

总之，只要学生能够牢固掌握等差数列项与项之间的关系，就能灵活解决等差数列的应用问题.

（作者单位 西藏自治区山南地区第二高级中学）