直线的“对称问题”

宋玉芳

摘 要：重点讲述直线相关的四种对称.

关键词：点关于点的对称问题；直线关于点的对称问题；点关于直线的对称问题；直线关于直线的对称问题

对称问题是直线部分的重要内容。它既是前面学过的任意点关于特殊线（坐标轴或象限的角平分线）的对称问题的延伸，也是今后学习曲线对称问题的基础。在这里我将举例说明。

一、点关于点的对称问题

例1.已知A（2，4），B（6，6），试求A点关于B点的对称点C的坐标.

分析：设C（x，y），由中点坐标公式得C（10，8）.

二、直线关于点的对称问题

求直线l1关于点P（x，y）的对称直线.

解法一：在l1上任取两点A，B.分别求A，B关于点P的对称点 A′，B′，由两点式得直线l2方程.

解法二（相关点法）：在直线l2上任取一点M（x，y），求点M关于点P的对称点坐标.并把对称点坐标带入l1方程，即得直线l2方程.

例2.求直线3x-y-4=0关于点P（1，-1）的对称直线L的方程.

解：设直线L上任意点M（x，y），点M关于点P的对称点（2-x，-2-y）在直线3x-y-4=0上.

所以，3（2-x）-（-2-y）-4=0.

即3x-y-4=0.

所求直线L的方程为3x-y-4=0.

三、点关于直线的对称问题

分析：求点关于直线的对称问题，主要利用垂直平分线的性质.

例3.求点A（2，2）关于直线2x-4y+9=0的对称点A′（a，b）坐标.

解：因为AA′的中点M在直线上，且AA′与直线垂直.解方程组得a=1，b=4.

所以A′点的坐标为（1，4）.

四、直线关于直线的对称问题

求直线l1关于直线l2的对称直线l3 .

相关点法：在直线l3上任取一点A（x，y），求出点A关于直线 l2的对称点A′的坐标，并将其代入直线l1方程，就得到了直线l3的方程。

例4.求直线2x-y+3=0关于直线3x-y+2=0的对称直线方程.

解：解方程组2x-y+3=0 3x-y+2=0得x=1y=5

利用到角公式求直线斜率得k=■.

所以直线方程为11x-2y-1=0.

（作者单位 河南省濮阳市第一高级中学）