一道2012年高考试题的启示

袁利江

摘 要：一年一度中高考试题一直是我们教学研究的主要对象，尤其是在高考中出彩的试题，更备受青睐，因为它内容够深刻、设计够新颖、研究够丰富，作为开发学生的智力和发展学生的思维具有一定的积极作用，是一些非常有效的素材。 本文通过一个简单的含参数学问题的思路剖析，展示其题解的思维过程，给读者总结了一些有关含参数学问题的解题思维方面的启示。

关键词：高考；双参数；数学思维

纵观历年的各省高考试题，含参数的数学问题一直是居高不下，其中还有不少试题含有多个参数，对于这些问题，很多学生望而生畏，骑虎难下，深感困难重重，难以决策。 G·波利亚曾说：“一个专心的认真备课的教师能够拿出一个有意义的但又不太复杂的题目，去帮助学生发掘问题的各个方面，使得通过这道题，就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的理论领域”。 本着这样的教学理念，本文旨在通过一个简单的含参数学问题的思路剖析，展示其题解的思维过程，望能给读者一些有关含参数学问题的解题思维方面的启示。

题目：（2012年天津高考试题） 设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y-2=0与圆（x-1）2+（y-1）2=1相切，则m+n的取值范围是（ ）

[?] 试题分析与探索

这是一道以直线和圆的位置关系为背景，考查参数取值范围的问题。 试题内容基础，设计背景平淡，难度不大，所以适宜于课堂教学。

1.不等式的角度

探究1：由题设直线（m+1）x+（n+1）·y-2=0与圆（x-1）2+（y-1）2=1相切可知， 圆心（1，1）到直线的距离为d==1，化简得mn=m+n+1. （*）

规律总结：由条件得到等式mn=m+n+1，它具有这样的特征：等式中含有也只含参数m，n和与积的形式，于是我们可以联想到用基本不等式求解。

2.方程的角度

探究2-1：由探究1中（*）式知mn=m+n+1，设m+n=t，则mn=t+1，

所以m，n是方程x2-tx+t+1=0的两个实数根，从而Δ=t2-4（t+1）≥0，

解得t∈（-∞，2-2]∪[2+2，+∞）。

探究2-2：由探究1中（*）式知mn=m+n+1，设m+n=t，则m=t-n，

从而n（t-n）=t+1，即n2-nt+t+1=0。

由题意可知上式关于n的方程有解，故Δ=t2-4（t+1）≥0，

解得t∈（-∞，2-2]∪[2+2，+∞）。

规律总结：对于含有两参数m，n和积形式的条件等式，我们联想到韦达定理，通过构造方程来求解；或采用逆向代换，通过消参得到某一参数为变元的方程，然后根据方程有解来求目标量的取值范围。

3.函数的角度

探究3-1：由探究1中（*）式知mn=m+n+1，

从而m=，故m+n=+n=+（n-1）+2。

函数y=+x+2，y′=-+1，

所以当x>或x<-时，y′>0，函数是递增函数，

当-

从而m+n∈（-∞，2-2]∪[2+2，+∞）。

探究3-2：由探究1中（*）式知（m-1）·（n-1）=2。

令m-1=x，n-1=y，则y=，所以m+n=+x+2（以下解法同上）。

探究3-3：对于m+n=+（n-1）+2，我们还可以如下处理：

当n>1时，m+n=+（n-1）+2≥2+2；

当n<1时，m+n=+（n-1）+2≤ -2+2，

从而m+n∈（-∞，2-2]∪[2+2，+∞）。

规律总结：对于题设出现或可以转化为关于这两个参数的条件等式的此类问题，若此等式可以转化为某一参数的函数形态，我们就可以通过代换的办法得到一个函数，并通过求该函数值域的办法来求解问题。

4.几何的角度

探究4-1：由探究1（*）知m==1+，

它在直角坐标系nOm中表示一条曲线，如图1。 作一组平行线m+n=t（t∈R），要使得直线与曲线有公共点知，m+n=t∈（-∞，2-2]∪[2+2，+∞）。

探究4-2：由探究1中（*）式知（m-1）·（n-1）=2。

令m-1=x，n-1=y，

则y=，它在直角坐标系xOy中表示反比例函数。

规律总结：像这类具有明显几何意义的目标参数式，我们就可以从几何意义的角度，结合线性规划的知识或构造几何公式来求解（如本题中的目标式m+n=t，它具有截距的几何意义）。

5.转化的角度

探究5：由探究1中（*）式知mn=m+n+1。

令m=x+y，n=x-y，则x2-y2=2x+1，即y2=x2-2x-1≥0，

所以x≥1+或x≤1-，

从而m+n=2x∈（-∞，2-2]∪[2+2，+∞）

规律总结：从以上的分析我们可以看出，通过换元可以转化目标式（如探究4-2中，采用换元法后的函数形态很明显比换元前容易理解得多，换元前的解析式其图象形态的把握，需要具备一定的图象变换能力才行），还我们一个质的形态；通过换元可以把一个陌生的数学情景问题转化为一个熟悉的数学情景问题，从而达到化复杂为简单的目的。

[?] 应用

例1 （2012年浙江高考）已知a>0，b∈R，函数f（x）=4ax3-2bx-a+b。

（Ⅰ）证明：当0≤x≤1时，

（ⅰ）函数f（x）的最大值为

在直角坐标系aOb中，（1）所表示的平面区域为图中所示的阴影部分，其中不包括线段BC。 作一组平行线a+b=t（t∈R），得-1

探究2：由（ⅰ）知，当0≤x≤1时，

所以a+b=（3a-b）+2（b-a）≤3，且a+b≥4a-1>-1，

所以a+b的取值范围是（-1，3]。

探究3：设a+b=t，则b=t-a，代入探究2（*）式可知

所以a+b的取值范围是（-1，3]。

评注：探究1采用线性规划的知识求解双参数目标式a+b的取值范围，是解决本题最为直接的方法；探究2是运用不等式的性质，通过把3a-b与b-a看做两个独立的变量，并用它们和a来表示a+b，进而求出a+b的取值范围；探究3则是利用整体思想逆代消元，然后利用不等式的性质求解。 探究2与3，从本质上讲是一样的，只是采用的思维方式不同，但其过程的呈现与理解的程度是有所不同的，两者在代数变形的要求上略有差异，很显然，整体思维逆代法更让人容易理解与接受。

例2 （2011湖北省高中数学竞赛，高一年级）

已知a，b∈R，关于x的方程x4+ax3+2x2+bx+1=0有一个实根，求a2+b2的最小值。

解法1：设r为方程x4+ax3+2x2+bx+1=0的实根，则有r4+ar3+2r2+br+1=0，即（r2+1）2+r（ar2+b）=0。 显然r≠0.

容易证明（ar2+b）2≤（a2+b2）（r4+1），于是

因此a2+b2的最小值为8。

解法2：x4+ax3+2x2+bx+1=x3·a+x·b+x4+2x2+1=0有一个实根，则在直角坐标系aOb中，存在实数x使此方程表示一条直线l，于是a2+b2表示原点O（0，0）与P（a，b）之间的距离的平方，下面只需求出原点O（0，0）到直线l距离d的最小值即可。

而d=≥=2，即a2+b2≥d≥8

故当且仅当x4+1=2x2且OP⊥l时，a2+b2的最小值为8此时a2+b2=8，

评注：解法1是应用含参数的柯西不等式相关知识求解，解法2则是反客为主，从目标参数式的几何意义出发思考分析求解，思维独特，算法简捷，真可谓是奇思妙解也。

综上所述，对于此类双参数式的取值范围或最值问题，其实并非无路可寻，只要我们善加思考，勤于动脑，有意积累，就能做到举一反三，触类旁通。