一类微分经济模型的非线性动力分析

卯兴聪?赵泽福?赵燕春

本文建立了考虑借贷消费及借贷投资的经济周期模型，对模型的动力学参数进行估计，在此基础上，分析了该系统的分岔和混沌行为，讨论了参数变化时系统动力学响应的变化和转迁规律，研究发现选择合理的宏观调控力度，能够控制借贷消费率及借贷投资率，从而对我国的解决发展起到明显的促进作用。

引言

国内外有不少学者专家对经济周期模型进行了研究分析，取得了非常丰富的研究成果。1930年法国的Corbeiller提出可以基于非线性动力学的混沌分岔理论对经济系统进行分析。随后，基于非线性动力学理论对经济微分系统进行分析成为学界的共识。1950年，Goodwin通过改进希格斯的消费函数，并结合时滞系统的思想，建立了一个非线性“乘数-加速数”经济周期模型，在该模型中，他通过非线性动力学理论研究了系统的分岔和混沌现象，并发现系统在参数变化时会出现周期极限环等典型的非线性动力学特征。随后，Puu同样以希格斯消费函数为基础建立了一个考虑非线性投资函数的周期经济学动力系统模型，重点对该模型的局部和全局动力学现象进行详细研究。

我国学者也对经济系统的非线性动力学展开了广泛的研究。李伟通过对综合消费函数和投资函数进行综合考虑，并考虑自发性函数项，建立了一类新的经济动力学模型。文献研究时考虑了时滞项对系统的影响，得到了系统发生Hopf分岔的判别式条件，从而研究了系统的周期与非周期特性。

综上所述，包含消费函数、投资函数、时滞等因素的经济学动力系统，往往包含有周期项，导致系统出现了典型的周期倍化分岔、Hopf分岔、极限环等多种非线性响应。在参数变化时，系统随着动力学参数的变化，经济模型动态响应也随之改变。

本文针对一类非线性周期经济动力学系统，建立了考虑多种参数的经济学微分方程，重点研究了基于借贷模式的经济周期的非线性模型，通过非线性动力学理论对系统的微分方程进行求解分析。本文的研究对于宏观经济政策决策有一定的理论指导意义。

基于借贷消费的经济周期模型

借贷消费起源于美国，近年来在中国开始逐渐研究借贷消费对我国经济发展的影响。特别是经济危机的出现，使得越来越多的专家学者开始对借贷消费的优劣更多关注。因此，如何合理利用和控制借贷消费，成为经济学领域研究的热点之一。

式（6）表示的系统中，外部激励项f为国家宏观调控的力度，下面研究系统随该参数变化时系统的非线性动力学特性。当f连续变化时，以f=0.4275为系统的周期倍化分岔临界值。在分岔点附近，系统的轨线的拓扑结果有实质性的差异，焦点由稳定变为不稳定，极限化由无到有，由大到小，且极限环的周期性发生了明显改变从周期2变为周期4，如图2a～b所示。

（一）f=0.4275是系统分岔临界值，可以发现，该系统随着系数的波动出现了模型的周期性波动，而且随着参数改变，系统的周期同样明显改变。这与世界经济发展确实存在周期波动完全一致。

（二）f=0.423左右，系统在该参数没有出现周期解。出现了明显的混沌现象，这样的现象说明，系统在该参数下是混沌的，暗示这样的参数条件下该系统可能爆发经济危机。由于经济危机比如影响到世界经济的正常发展和前进，而且这样的状态具有随机遍历性，因此对任何经济系统都是十分危险的。需要努力去控制，因此，使得中国的经济发展处于混沌状态。因此，要避免经济危机对中国经济发展的危害，保证经济的持续增长，宏观调控的力度一定要保持在0.4230以上。

（三）当f的取值从依次减小时候，极限环的半径也在依次变大。这说明f的值越大，发生一个经济周期所经历的时间越长，即经济发展相对稳定。

（四））f的值越小，发生一个经济周期所经历的时间越长，而且经济发展的波动性较大。

综上，我们可以发现外部干扰f对系统的影响较大，我们可以通过加以较小的外力干扰就可以使经济由混沌状态进入到确定状态。随着f的变化，要想使得经济由混沌状态进入到确定状态，需要施加的外力 也需要不断增加。在现实中，这就说明当宏观调控力度较小时，政府使用比较单一的经济调控手段就可以控制经济的发展方向，而当 较大时，政府需要联合使用较多的经济调控手段才可以控制经济的发展。

结论

本文建立了考虑借贷消费及借贷投资的经济周期模型，对模型的动力学参数进行估计，在此基础上，分析了外部干扰项对该系统的分岔和混沌行为的影响规律，得到参数变化时系统动力学响应的变化和转迁规律，研究发现选择合理的外部控制项，能够对系统的周期与非周期性产生十分明显的作用，达到控制借贷消费率及借贷投资率的目的，从而对我国的解决发展起到明显的促进作用。

（作者单位：云南昭通学院）