正确分析数量关系，掌握解决问题的方法和规律

黄桂峰

把数量关系分为纯数量关系、基本数量关系和隐含数量关系三类，根据它们各自的特点，采用不同的分析方法，学会分析数量关系的方法，找到解决问题的规律。

纯数量关系基本数量关系隐含数量关系解决问题，是小学数学教学中的重点和难点。它题型多，变化灵活，使很多学生无所适从，以致对解决问题产生恐惧感和厌恶感，直接影响到教学效果。为了降低学习难度，激发学生的学习兴趣，顺利完成学习目标，数量关系可分为三类：纯数量关系、基本数量关系和隐含数量关系。对每一类数量关系，根据它们的特点，分析研究，总结分析方法和规律。

一、纯数量关系，是解决问题的基础，它可以分成三类来研究学习

1.求大数时用加法，求小数时用减法。简单的记忆为求大用加求小用减。如：

（1）桃树有76棵，桃树比梨树多18棵，梨树有多少棵？

（2）故事书有138本，文艺书比故事书多27本，文艺书有多少本？

（3）小明有钱27元，小华比小明少14元，小华有钱多少元？

（4）长方形的宽是18米，宽比长少7米，长是多少米？

这四道题中的（1）、（3）小题中的已知数是大数，未知数是小数，因为是求小数，所以用减法。（2）、（4）小题中的已知数是小数，未知数是大数，因为是求大数，所以用加法。这样，通过分析，让学生明白，解这类题的关键是分析出所求数量是大数还是小数，求大数就用加法，求小数就用减法，与文字是多或少无关。

2.求标准数用除法，非标准数用乘法。简单地记忆为求标用除非标用乘。

（1）小麦有360千克，玉米的质量是小麦的3倍，玉米有多少千克？

（2）红花有18朵，红花的朵数是黄华的6倍，黄花有多少朵？

（1）题中小麦的质量是标准数，玉米的质量是非标准数，因为是求非标准数，所以用乘法。而（2）题中黄花的朵数是标准数，红花的朵数是非标准数，因为是求标准数，所以用除法。

3.把这两个规律组合起来，共同解决问题。

（1）杨树有180棵，杨树的棵树比松树的3倍多6棵，松树有多少棵？

（2）阳阳写大字48个，晨晨写的大字的个数比阳阳的3倍多6个，晨晨写大字多少个？

（1）题中松树的棵数是标准数，杨树比松树的棵树的3倍多6棵，也就是杨树的棵树是大数，松树的棵数的3倍是小数，求松树的棵数的3倍也就是求小数用减法，所以先用180-6得出松树的棵数的3倍后，再求松树的棵数，也就是求标准数用除法。（2）题中阳阳写的大字的个数是标准数，晨晨写的大字的个数是非标准数，非标用乘，所以先用48×3得出阳阳写大字的个数的3倍，又因为阳阳写的大字的个数的3倍是小数，晨晨写的大字的個数是大数，求大用加，因此可列式48×3+6.

二、基本数量关系，也就是公式，是解决问题的关键

新教材把“应用题教学”改变为“解决问题”，分布到各部分教材中，不独立出现。分析题时，注重和实际相联系，忽略公式的记忆，导致分析问题时，很多学生不会灵活运用公式，不能掌握分析方法，找到规律。为了克服这种现象，在分析总结出公式后，通过题组训练和变式训练，掌握公式的运用方法，记熟公式。

如根据下面条件，你能提出什么问题？怎样列式？

（1）拖拉机每小时行28千米，行8小时

（2）汽车4小时行360千米

（3）每千克玉米2.4元，买40千克玉米

（4）买30千克小麦用78元

通过这些问题的分析解决，使学生明白，解决这些问题的关键是记住公式，会用公式及变式解决问题，引起学生对基本数量关系即公式的重视。

另外，要注意量的对应。

小汽车每小时行120千米，大客车每小时行100千米，小汽车从A地向B地出发，2小时后，大客车也从B地向A地出发，大客车开出3小时后，两车相遇，A、B两地相距多少千米？

分析时，先让学生分析出小汽车的速度、时间是多少，大客车的速度、时间是多少，再让学生分析出各自的路程怎样求，最后分析出两地距离怎样求。让学生通过小汽车的时间乘小汽车的速度得到小汽车的路程，大客车的速度乘大客车的时间得大客车的路程，大客车和小汽车的路程和就是两地之间的距离。

三、隐含数量关系，是解决问题的难点

在解决问题时，经常会遇到一些隐藏在题中的数量关系，不认真分析，很难发现它们，这是解决问题的难点。如：

（1）一列火车长200米，以每小时120千米的速度通过一座2000米长的大桥，火车从开始上桥到完全过桥要用多少时间？

（2）一列火车长200米，以每小时120千米的速度通过一座2千米长的大桥，火车完全在桥上的时间有多长？

（3）把一根20米长的木棒，平均锯成4段，每锯断一次用10分钟，锯完这根木棒需要多少分钟？

（4）在一条100长的道路两旁栽树，每隔2.5米载一棵，可以栽多少棵树？

这些题中隐含着一些数量关系，它们在题的文字中不直接出现，学生很难理解。这种情况，可借助图形，并结合正确的分析方法，使学生真正理解题意，找到分析这些隐含数量关系的方法。如（1）题可借用下图来分析：

选取火车头或车尾为观察点，分析出火车头或火车尾从开始上桥到完全过桥所走的路程为桥长+车长，即2000+200=2200米。（2）题也可以采用这种方法，但火车完全在桥上所跑的路程为桥长—车长，即2000-200=1800米。同理，（3）、（4）小题也可以采用这种方法，借助图形，使学生正确分析出平均锯成4段，需要锯3次；而每隔2.5米栽一棵数，路的一侧就可以栽100÷2.5+1棵，求两侧的棵数就要再乘以2。在学生掌握这些隐含的数量关系的分析方法后，此类题目的难点也就迎刃而解。

总之，分析数量关系，解决实际问题，虽然难度较大，但有法可循。只要正确分析，及时总结方法和规律，不但可以帮助学生顺利完成学习任务，而且可以激发他们的学习兴趣，形成解决问题、总结方法和规律的能力，达到事半功倍的目的。