感悟不等关系 建立数学模型

赵春

一、教材分析与设计理念

本节内容为苏教版《数学》必修五第三章第一节。在初中阶段，学生已经认识了不等符号，会做一些简单的大小比较练习。教材给出了3种类型的不等关系问题，分别为一元一次、一元二次、二元一次不等式（组），让学生体会生活中“不等关系”的广泛存在与应用，学会在生活中建立抽象的数学模型，并用来解决问题，即实施“实际问题—数量关系—不等式—解不等式—解决实际问题”的教学思路，而本节课的重点则是前三步，是为后续内容打下建模的基础，起到承上启下的作用。

在设计本节课的教学活动时，考虑到内容难度不大，教师可以引导学生运用“自主、合作、探究”去解决问题，也可以引导学生采取自学的方式来完成学习任务。但是既然上一节课，就要让学生有更大的收获，因此我在设计教学活动时，就本节课的深度和广度进行了考虑。作为本章的起始内容，我认为不能太难，不能太过理论抽象，否则将破坏学生下面学习的积极性，因此我的设计没有加入理论性的证明。本节课作为本章一个统领性的课题，应该立足于生活中广泛存在着数学的基础上，引导学生用数学的眼光去观察生活，从中提炼出数学方法和数学思想。

我这样设计：生活中的小常识（糖水问题中的数量关系）—不等关系的广泛存在—课本三个例子—建模的过程与关键—生活中的数学。这样的教学流程让学生自然顺畅地在生活和数学的融合中进行探究与发现。

二、教学目标

知识与技能：

1.通过具体情境，使学生感受在日常生活中存在着大量的不等关系，进而了解不等式（组）的背景。

2.通过课堂的合作探究，让学生经历由实际问题建立数学模型的过程，熟悉建立不等式模型的基本思路，学会基本方法。

过程与方法：

通过大量实例让学生感受生活中的数学和生活中的不等关系。

情感、态度与价值观：

通过课堂教学，使学生体会生活中的数学的重要作用，培养与提高学生的观察能力与抽象思维能力。

三、教学重点与难点

重点：引导学生用不等式刻画现实生活中的不等关系。

难点：通过具体情境建立不等关系模型。

四、教学过程

1.情境创设。

（教师演示）教师两手各持一个一样大小的杯子，分别倒入了50g、200g的水，分别在两个杯子中依次加入5g、10g糖，搅拌均匀至完全溶解。

师：我在刚才的过程中提到了4个数字。

（板书）50、200，5、10

我们平时所说的左边杯子中水比右边水少，用数量关系该如何表示？

生：50<200。

师：哪一杯中的糖更多？能否用数学关系式表示？

生：右边的杯子糖多，表示为10>5。

师：你认为哪杯水更甜？

生：左边的50g水的更甜。

师：请你尝尝看是不是这样呢？

（在学生肯定了答案之后再问）你能否也通过一个数量关系式来表示哪杯水更甜呢？

生：更甜是指糖水的浓度更大，因此表示为

> ，这个结果化简即可证明。

师：如果我在左边的杯子里再加入xg糖，这杯水会比刚才更甜还是淡？体现出什么样的数量关系？

生：更甜。 >

师：这个表达式，同学们课后可以自己通过做差比较验证。

从这个试验中，我们看到了实际问题中蕴含了很多数量关系，生活中的数量关系除了我们以前所学的等量关系以外，还有很多不等关系，如比较两个同学一高一矮，两个同学跑步一快一慢等等，这便是我们今天要一起来探究的《不等关系》（投影）。

不等关系来源于生活，我们今天来研究它，又能解决什么样的实际问题呢？让我们走出去看一看：（投影）

2.数学建模。

例1 班级打算周末组织同学去宝应湖湿地公园踏青，已知门票为每位50元，40人以上（含40人）时可以打8折，经统计参加人数不足40人。现在有两种购票方式：一是按照40人购团体票，二是按照实际人数购票。哪种购票方式花费更少？

学生小组讨论，很快得出了结论。

（1）题目中涉及了哪些量，将其列出：

票价 人数

50 <40

50×0.8 ≥40

（2）它们满足什么样的关系或者我们要解决什么问题？

比什么：团体票总价与个体票总价。

怎么比：哪个更省？

比如前者更省，便得到了数量关系：

团体票总价<个体票总价

（3）将数量关系转换为表达式：

解：设实际参加人数为x（x<40，x∈N*）人

50×0.8×40<50x

师：我们今天解决的问题是建立不等关系，至于这个不等式怎么解，留到以后研究。

买好票进了公园，管理员又给大家出了一个问题：（投影）

例2 公园若以每人50元的价格出售门票，每周约有游客2万人，经过调查，如果采取促销策略，价格每降低1元，游客数则会增加1000人，若门票降低了x（x∈N*）元，要使公园的门票收入大于120万元，x应定在什么范围内？

小组讨论，着重探究过程：

（1）找量：票价 人数

50 20000

50-x 20000+1000x

（2）找关系：总收入>120万元

（3）列式：（50-x）（20000+1000x）>1200000

师：游玩了半天后，来到公园餐厅，能否帮厨师解决这个问题呢？（投影）

例3 公园的绿色餐厅营养快餐由甲、乙和丙三种食物混合而成（维生素含量如下表）。

厨师现在欲将三种食物混合成100kg的食品，要使混合食品中至少含35000单位的维生素A以及40000单位的维生素B，设甲、乙、丙各有xkg、ykg、zkg，那么x，y，z应满足怎样的关系？

（1）题目中已经将有关量通过表格的形式呈现出，要注意的是除了常数以外，变量也是一方面，不能忽略。

（2）找关系：（不要忽略实际问题的隐含条件）

总重量=100

维生素A的含量≥35000

维生素B的含量≥40000

（3）列式：

x+y+z=100300x+500y+300z≥35000700x+100y+300z≥40000x，y，z∈（0，100）

师：通过公园游玩中遇到的三个实例，大家是否可以总结出我们由实际问题建立数学模型的一般步骤？

生：找量—找关系—列式。

师：既然我们从几个例子中找到了一般规律，那我们再回到生活中，看看你对下列哪个方面的问题感兴趣。

3.数学应用。

不等式是刻画现实世界中不等关系的数学模型，在解决实际问题中有着广泛的应用，引导学生进一步挖掘一些感兴趣和富有时代感的内容，加深认识。

展示课件：分别用六个按钮链接了6个职业的例子，由学生自主选择。

植物学家 海监船员 投资顾问

药剂师 数学家 公务员

学生首先选了“公务员”（投影）：

扬州市决定将今年新招聘的公务员安排到乡镇基层锻炼，如果每个定点的乡镇安排4人，那么有20人无法安排，如果每个乡镇安排7人，那么有一个乡镇将会不空也不满，求定点锻炼的乡镇数和公务员人数。

学生板书一：假设乡镇数为x（x∈N*）个，表示出人数为4x+20。

列式：0<（4x+20）-7（x-1）<7

学生板书二：假设乡镇数为x，公务员数为y，（x，y∈N*）。

y=4x+200

学生第二次选择的是“投资顾问”（投影）：

公司计划用不超过60万的资金投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙的投资的 ，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润。假设对甲、乙两项目的投资分别为x、y万元，试设计出满足题意的关系式使利润不少于24万元。

学生解答x+y≤60x≥ y0.4x+0.6y≥24x，y≥5

（课堂时间一般能解决两个问题，其他备选例题附后——编者注）。

4.课堂小结。

了解不等关系在生活中的广泛运用；可以通过具体情景建立不等式模型；“找量—找关系—列式”这个过程中关键是第二步；可以问两个问题：一是比什么？即找出是哪几个量在进行比较；二是怎么比？即这些量之间是用什么关键词连接的。

4.课后作业

（1）课本P74练习2-4。

（2）自己再从生活中寻找不等关系，同学之间相互交流。

（3）预习一元二次不等式的解法，体会本章在实际生活中的作用。

附：

植物学家：某种植物适合生长在温度为不低于18℃不高于20℃的山区，已知山区海拔每升高100米气温下降0.55℃，现测得山脚下的平均气温为22℃，该植物种在山区多高处为宜？

解：设植物应该种在山区x米处

18≤22- ×0.55≤20

海监船员：中国海监巡航编队在我国钓鱼岛海域巡航时，测得在距离钓鱼岛300海里的正东方向有一台风中心形成，并以30海里/小时的速度向北偏西30度的方向移动，在距台风中心270海里的范围内将会受到台风影响，问：从现在起经过多少小时后钓鱼岛开始受到台风的影响？

本题为一元二次关系，量的列出形式多样，除了例题中的表格展示外，本题也是一个典型的通过图形来展示的模型。

解：设经过x小时后受到台风影响：

3002+（30x）2-2×300×30x×cos60°<2702

药剂师：配置A和B两种药剂需要甲和乙两种原料，已知配一剂A种药需要甲原料3mg、乙原料5mg；配一剂B种药需要甲原料5mg、乙原料4mg，今有甲原料20mg、乙原料25mg，设A、B两种药分别配x、y剂，且A、B两种药至少各配一剂，试列出关于x、y的不等式组。

解：3x+5y≤205x+4y≤25x∈N*y∈N*

数学家：K是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上一点，连结AK，并延长交BC于点M，△AKD与△BKM的面积和随着DK长度的变化是否会小于0.5？

解：设DK=x，则BK= -x，利用相似比：

= 得BM= -1

xsin45°+ （ -x）（ -1）<

（作者单位：江苏省兴化中学）