巧变换，妙解题

张仁林

中图分类号：G633.6 文献标识码：B 文章编号：1006-5962（2013）06-0274-01

我们知道，在解有关几何图形的题目的时候，有些辅助线的添法是至关重要的，而利用图形变换来添加辅助线则是一个非常巧妙的方法。

1 利用平移变换添辅助线

例1. 正方形ABCD中，M是BC上任意一点，AM=10，

GH是AM的垂直平分线，求GH的长。

解：过点B作GH的平行线BE交DC于E（即平移GH），

则BE⊥AM，BE=GH

∴∠CBE+∠BMA=90°， 又∠BAM+∠BMA=90°

∴ ∠BMA=∠CBE

在△ABM 和△BCE中，

∠ABM=∠BCE=90°，∠BAM=∠CBE，AB=BC

∴

∴BE=AM=GH=10.

2 利用轴对称变换添辅助线

当问题中含有角平分线或高线等，若以角平分线或高线为对称轴，

作轴对称变换，构造出全等三角形，常常有利于问题的解决。

例2. 如图△ABC 中，AD是∠BAC 的平分线，∠B=2∠C

求证：AC=AB+BD

證明：以∠BAC 的平分线AD为对称轴，则点B的对称点B' 必在AC上，由轴对称性质定理知：

∴AB=AB'，BD=B'D，∠B=∠AB'D

又∠B=2∠C ，∠AB'D=∠C+∠B'DC

∴∠C=∠B'DC ∴B'D=B'C=BD

∴AC=AB'+B'C=AB+BD

例3. 如图， △ABC 中，AD是BC边上的高，∠B=2∠C

求证：DC=AB+BD

证明：以AD为对称轴，则点B的对称点B'必在BC上，

由轴对称性质定理知：

∴AB=AB'，BD=B'D，∠B=∠AB'D

又∠B=2∠C ，∠AB'D=∠C+∠B'AC

∴∠C=∠B'AC，∴AB'=B'C=AB

∴DC=B'D+B'C=BD+AB

3 利用旋转变换添辅助线

当问题中有正三角形或正方形时，抓住特殊角，把某个图形绕某点旋转60°或90°，构造全等三角形图形，实现问题的转化，常常是解题的关键所在。

例4. 已知如图，正方形ABCD中，P、Q分别是BC、DC上的点，

若AQ平分 ∠DAP. 求证：PA=PB+DQ

证明：将△ADQ 绕A点按顺时针方向旋转90°到△ABE的位置，

由图形的旋转性质，得

∴∠2=∠3，∠ABE=∠D=90°，∠E=∠4， BE=DQ.

∵ 四边形ABCD为正方形， ∴∠ABE+∠ABC=180°，

∴ P、B、E三点共线。

∵ AB//DC， ∴∠5+∠1=∠4=∠E .

∵ ∠1=∠2， ∴∠5+∠3=∠5+∠2 =∠5+∠1=∠4=∠E

∴PA=PE=PB+BE=PB+DQ.

例5. 如图，P是等边△ABC内的一点，PA=3，PB=4， PC=5，

求 ∠APB的度数。

解：将△ABP绕点P逆时针旋转60°到△ACP' ，连接PP' ，

则

∴BP=CP'=4，AP=AP'=3，∠APB=∠AP'C

又 ∠PAP'=60°，

∴△APP' 是等边三角形， ∴∠APP' =60°，PP'=AP=3

在△APP' 中，PP'=3 ，P'C=4，PC=5

∴PC2=P'P2+P'C2，

∴∠PP'C=90°，

∴ ∠APB=∠AP'C =∠AP'P+∠PP'C=60°+90°=150°.

例6. 如图，点P是正方形内一点，PA=1， PB=2， PC=3，

求∠APB 的度数.

解：将△ABP 绕点P逆时针旋转90°到△CBP' ，连接PP' ，

则 ∠ABP=∠CP'B，∠PBP'=90°

∴AP=CP'=1，BP'=BP=2

∴PP'=BP'+BP2=22， ∠BPP'=∠BP'P=45°，

在 △PP'C 中，PP'= 22，P'C=1 ， PC=3

∴PC2=P'P2+P'C2 ，∴∠PP'C=90°

∴∠APB =∠CP'B=∠BP'P+∠PP'C=45°+90°=135°

正图形的变换，通常是指对图形进行折叠、平移、旋转等.在解题过程中，若能注意变换图形，往往会收到"柳暗花明又一村"的效果一、折叠变换例1如图1，ΔABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∠ABC的平分线交AC于D，过C作BD的垂线交BD的延长线于E.你能用所学的知识说明BD是CE的2倍。

解题笔记： 在解类似问题时，应从实际出发，结合图形的特点，通过图形的旋转、平移或轴对称将几个互不相关的量（及分散的条件和结论）联系起来是解题之关键。