计算教学中估算和精算的再思考

一直以来，在数学领域，计算教学都是一个令数学教者不断探索与研究的课题。而对于计算领域中估算与精算的研究与探索更是从未间断。

谈到估算与精算，我们不妨比较一下二者的区别：

据研究，估算在实际生活中的存在比精算更早，且应用的场合同样极为广泛。它的意义和作用丝毫不比精算逊色。它与精算成为小学数学计算领域中互补互助的“伙伴”；在生产、生活、科技等领域成为公认的“黄金搭档”。

估算是近两年才被请进小学数学教材的新内容。我们在教学视导中了解到：许多老师在估算教学中存在着一些问题。现在，我就根据这些问题涉及到的内容谈谈自己对估算的一点认识和思考。通过分析，我发现，老师们在教学中面临的诸多问题，主要集中于一点：用精算的观点看待估算。因此，将估算与精算作一番比较，或许能启发老师们对估算产生一些新的认识。

一、精算与估算的基本概念

1. 精算，主要是指依靠数学运算符号，遵循一定的运算规则，按照一定的演算步骤，得到“准确”的结果或“比较精确”的近似值。

2. 估算，就是利用一些估算策略，通过观察、比较、判断、推理等计算过程，获得一种概略化的结果。简单地说，估算就是“大致推算”。

根据精算和估算的基本概念，从“计算过程”和所得“结果”的特点来考察现行小学数学所涉及的计算内容可知，精算的外延主要有三种表现形式：

（1）准确计算得到的结果是准确数；

（2）准确计算得到的结果是近似数；

（3）近似计算得到的结果是近似数。

而估算外延的表现形式则比较单一——“简略推算得到的结果是概略数”，通俗地说是“大致推算得到大致结果”。

下面，我们就用实例从两者外延的表现形式上来作些探讨。

二、实例对比

（1）准确计算得到准确数：（为方便计，例题一般先精算后估算）

例1，计算：96×18=1728（这是精算）。

若作估算，则可能有如下策略：i>96×18≈100×18=1800

或：ii>96×18≈95×20=1900

或：iii>96×18≈100×20=2000

例2，简便计算：302+593-407

=300+600-400+2-7-7

=488（简便计算属于精算）

方法二：原式=302+59-5-400-7

=900-400-5-7

=500-12=488（仍然是精算）

若作估算：原式≈300+600-400=500

……

例1、例2属于“可精亦可估”的计算题。值得一提的是，在“准确计算获得准确结果”的情形下，“需精不需估”也是常见的。如，计算3+2、（18—6）×7……

（2）准确计算得到近似数：

例3，计算：3155÷48≈65.729（保留三位小数）

若作估算：i>3155÷48≈3200÷50=64

或： ii>3155÷48≈3000÷50=60

或： iii>3155÷48≈3150÷50=63

……

（3）近似计算得到近似数：

例4，已知圆形花园的直径为10.5米，求面积。

解：S=πr2≈3.14×（10.5÷2）2

≈3.14×（10.5÷2）2≈85.44（保留两位小数）

若作估算：i>S= πr2≈3×（10÷2）2≈3×25=75

或：ii>S=πr2≈3.2×（10÷2）2≈3.2×25=80

我们早已知道，精算的算法也是多样的，但结果总是“唯一、确定”的（如例2）。

从例3、例4可以看出，精算的结果是近似数时，必须有“精确度”的要求；而估算没有“精确度”的要求。估算的策略不同，得到的结果也不同。既然允许有不同的估算策略，只要各种策略都是合理的，也就应当承认各种结果的合理性。这说明估算的结果不具有“唯一、确定”性。对于精算习惯了的或精算入了迷的人来说，也不必担心：“估算的结果误差太大，怎么得了？”

其实，数学也是研究生活、研究世界、研究自然的，当数学的规则还未达到与自然界的规则完全一致的时候，拒绝误差、否认误差至少是一种僵化和片面的观念。

我们还可发现，在例3、例4中的精算与估算中，虽然都使用了“≈”这一符号，但两处含义有很显著的区别。精算时，“≈”表示的结果都有明确的“精确度”，而估算时，“≈”却不得有“精确度”的要求。

特别是需要指出的是，除了前述“需精不需估”和“可精亦可估”的类型外，还存在“需估不需精”和“可估不可精”两种类型：

如，“苹果每千克3.2元，小红的妈妈准备去买17千克苹果，需带多少钱？”这就属于“需估不需精的情形，（用“4×20”、“5×20”……来估算都是合理的；并不需要用3.2×17=54.4来作精算。

三、对估算的新认识

总结前面的对比探讨，我们能够获得对估算的几点新的认识：

（1） 估算的作用。估算和精算都是提升到数学领域的计算策略。在处理或解决计算问题时，要根据实际的需要和可能，当精则精，当估则估。尤其是在那些“需估不需精”以及“可估不可精”的场合，估算发挥着精算不可代替的巨大作用。这就是估算最大的应用价值之所在。

（2）估算策略的实质。对于同一个问题的估算，不同的人可运用不同的估算策略，可能得到不同的结果。尽管估算的策略各有不同，但估算策略的“哲学精神”在于：“抓大头，看主流，不计小流和零头。”这也许是估算最大的教育价值之所在。“便于简约性口算”可能是估算策略的基本方针。

（3）对估算结果的判定。对于同一个问题，不同的人可能得到不同的结果。只要各自的估算策略合理，就应当承认各种不同的结果均具有合理性。估算的结果不具有“唯一、确定”性。

而且，各种不同的合理估算的结果没有正确与错误之分，只有误差大小的不同而已。特别有趣的是：“在估算中，越精确并不意味着越好”。有时甚至是：“越精确反而越失真”。如“计算地球的表面积”，一般是估算为5.1亿平方千米；假如有人把结果精确到了1平方厘米的程度，你能说这是最真实的结果吗？显然不是。这也是估算与精算最显著的区别之一。

（4）估算的运算规则。估算的运算规则与精算的运算规则相同。依据的算法意义一样，在进行加、减、乘、除等各种计算时是不能改变算法意义的。

（5）两者在使用“四舍五入法”时，既有联系又有区别。精算在近似计算或取得近似结果时，主要运用“四舍五入法”。但估算就比较灵活，它除了使用“四舍五入法”之外，还可以用“收尾法”、“去尾法”，有时甚至要作适当的“自愿取舍”，以便于口算且快速简便地获得大致结果。

（6）估算与精算中使用“≈”的区别：精算时使用“≈”有精确度的要求，而估算时没有“精确度”的要求。

（7）估算与猜测不同。估算是一个观察、比较、判断、推理的过程，有计算过程。猜测是一种想象或臆断，没有计算过程。

作者简介：李淑君，吉林省四平市第一实验小学校教学副主任，小学高级。