三角函数复习指导

王中华

三角函数一直是高考的重要内容，在一份高考试卷中通常出现1～2个填空题，一个解答题.填空题主要考查三角函数的基本概念、图象性质、诱导公式及“和、差、倍”角公式的运用.解答题侧重考查正余弦定理及函数y=Asin（ωx+）的图象性质等.考题大多是课本例、习题的变形，因此复习时应“立足于课本，着眼于提高”，这也与当前高考命题特色相吻合.

考点一、任意角和弧度制及任意角的三角函数【考点解读】 三角函数的概念在高考中单独命题较少，但几乎所有三角函数试题都离不开这部分内容，同时该内容也是研究三角函数的性质，解决三角问题的基础.理解任意角、终边相同的角及弧度制等概念，能够根据条件利用三角函数的定义求某些三角函数.在解三角不等式时，数形结合利用单位圆及三角函数线是一个小技巧.

例1已知一扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.

（1）若α=60°，R=30cm，求扇形的弧长l及该弧所在的弓形面积.

（2）若扇形周长为20cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？

（3）若将该扇形的圆心放在坐标原点，使角α的始边与x轴重合，已知角α的终边上一点P的坐标为（-3，y）（y≠0）且sinα=214y，求cosα，tanα.

（4）若α=60°，求θ，使θ与α的终边相同，且-720°≤θ<0°.

【思路点拨】 （1）可直接使用弧长公式计算，但注意在弧度制下角需用弧度制.（2）可用弧长或半径来表达出扇形的面积，弓形面积由扇形面积与三角形面积的差组成，然后确定其最大值.（3）利用三角函数的定义求解，注意对y的讨论.（4）利用终边相同的角的集合S={β|β=α+2kπ，k∈Z}.

【解析】 （1）∵α=60°=π13rad，R=30，∴l=|α|·R=π13×30=10πcm.

S弓=S扇-S三角形=112×10π×30-112×302×sinπ13=150π-2253（cm）2.

（2）由题意得l+2R=20，∴l=20-2R（0

∴S扇=112lR=112×（20-2R）×R=（10-R）·R=-R2+10R.

∴当且仅当R=5时，S有最大值25（cm）2.

此时l=20-2×5=10，α=l1R=1015=2rad.

∴当α=2rad时，扇形面积取最大值.

（3）r2=x2+y2=y2+3，由sinα=y1r=y1y2+3=214y，所以y=±5.

所以当y=5时，cosα=x1r=-614，tanα=y1x=-1513，

当y=-5时，cosα=-614，tanα=1513.

（4）令θ=60°+k·360°（k∈Z）.取k=-1，-2就得到适合-720°≤θ<0°的角：

60°+（-1）×360°=-300°，60°+（-2）×360°=-660°.

【归纳总结】 扇形的面积与弧长的计算在几何中应用较多，都可以用角度制与弧度制两种方式给出，应注意角度制与弧度制不能混用.合理利用圆心角所在的三角形，合理选择参数，运用函数思想、转化思想，解决扇形中的有关最值问题.利用定义法求三角函数值需要已知或设角α终边上一异于原点的点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解.利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角.

【变式训练1】

（1）已知角α的终边在直线y=-3x上，则10sinα+3×11cosα=.

（2）不借助计算器的情况下，证明：sin20°<7120.（1996年第12届全俄数学竞赛题）

考点二、三角函数的同角公式及诱导公式

【考点解读】 求值题主要考查同角三角函数的基本关系式、诱导公式的应用，利用三角公式进行恒等变形的技能.题型多为选择题或填空题.六组诱导公式可统一记为“奇变偶不变，符号看象限”.利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角三角函数为锐角三角函数，其原则：负化正、大化小、化到锐角为终了.切弦互化的技巧必须灵活掌握.

例2（1）设θ为第二象限的角，若tan（θ+π14）=112，则sinθ+cosθ=.

（2）是否存在α∈（-π12，π12），β∈（0，π），使等式sin（3π-α）=2cos（π12-β），3cos（-α）=-2cos（π+β）同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由.

【思路点拨】 （1）利用两角和的正切公式，求出tanθ，然后切化弦，再联想平方关系式，解题突破口就是求解关于“sinθ，cosθ”的方程组.（2）要想求出α，β的值，必须知道α，β的某一个三角函数值，解决本题的关键是由两个等式，消去α或β得出关于β或α的同名三角函数值.

【解析】 （1）∵tan（θ+π14）=112，∴tanθ=-113，

即3sinθ=-cosθ

sin2θ+cos2θ=1，解得sinθ=10110，cosθ=-310110.

∴sinθ+cosθ=-1015.【答案】 -1015.

（2）假设存在α，β使得等式成立，即有

sin（3π-α）=2cos（π12-β）1①

3cos（-α）=-2cos（π+β）1②

由诱导公式得sinα=2sinβ1③

3cosα=2cosβ1④

③2+④2得

sin2α+3cos2α=2，∴cos2α=112，

又∵α∈（-π12，π12），∴α=π14或α=-π14，

将α=π14代入④得cosβ=312.又β∈（0，π），∴β=π16代入③可知符合.

将α=-π14代入④得cosβ=312.又β∈（0，π），∴β=π16代入③可知不符合.

综上可知，存在α=π14，β=π16满足条件.

【归纳总结】 （1）对于sinθ+cosθ，sinθcosθ，sinθ-cosθ这三个式子，已知其中一个式子的值，其余二式的值可求.转化的公式为（sinθ±cosθ）2=1±2sinθcosθ；（2）关于sinθ，cosθ的齐次式，往往化为关于tanθ的式子.已知角α的三角函数值求角α的一般步骤是：①由三角函数值的符号确定角α所在的象限；②据角α所在的象限求出角α的最小正角；③最后利用终边相同的角写出角α的一般表达式.

【变式训练2】

若f（α）=sin[α+（2n+1）π]+2sin[α-（2n+1）π]1sin（α-2nπ）cos（2nπ-α）（n∈Z），求f（19π16）.

考点三、三角函数的图象和性质

【考点解读】 能画出y=sinx，y=cosx，y=tanx的图象，理解这三种函数的性质（如周期性、单调性、奇偶性、最大值和最小值、对称中心和对称轴等），函数的单调性是相对于某一区间而言的，研究其单调性必须在定义域内进行.

例3（1）求函数y=lg（2sinx-1）+-tanx-11cos（x12+π18）的定义域；

（2）求y=3tan（π16-x14）的周期及单调区间；

（3）求函数y=3cosx-3sinx的值域.

【思路点拨】 （1）求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式（组），常借助三角函数线或三角函数图象来求解.（2）先化为：y=-3tan（x14-π16），再求单调区间.（3）先将原函数式进行等价变形，利用|cosx|≤1，|sinx|≤1，但要注意自变量的取值变化.

【解析】 （1）要使函数有意义，则

2sinx-1>0

-tanx-1≥0

cos（x12+π18）≠0sinx>112

tanx≤-1

x12+π18≠kπ+π12（k∈Z），

如图利用单位圆得：

2kπ+π16

kπ+π12

x≠2kπ+3π14（k∈Z），

∴函数的定义域为：{x|2kπ+π12

（2）y=3tan（π16-x14）=-3tan（x14-π16），

∴T=π1|ω|=4π，∴y=3tan（π16-x14）的周期为4π.

由kπ-π12

∴3tan（x14-π16）在（4kπ-4π13，4kπ+8π13）（k∈Z）内单调递增，

∴y=3tan（π16-x14）在（4kπ-4π13，4kπ+8π13）（k∈Z）内单调递减.

（3）y=3cosx-3sinx=23（312cosx-112sinx）=23cos（x+π16），

∵|cos（x+π16）|≤1，∴该函数值域为[-23，23].

【归纳总结】 （1）求三角函数的定义域，既要注意一般函数定义域的规律，又要注意三角函数的特性，如题中出现tanx，则一定有x≠kπ+π12，k∈Z.求三角函数的定义域通常使用三角函数线、三角函数图象和数轴.（2）对于y=Atan（ωx+φ）（A，ω，φ为常数），其周期T=π1|ω|，单调区间利用ωx+φ∈（kπ-π12，kπ+π12）（k∈Z），解出x的取值范围，即为其单调区间.（3）将原函数式化为一角一名的形式，如y=Asin（ωx+φ）+B，y=Acos（ωx+φ）+B或化为关于sinx（或cosx）的二次函数式，切忌忽视函数的定义域.

【变式训练3】

已知函数f（x）=cos（π13+x）cos（π13-x）-sinxcosx+114，

（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值；

（2）求函数f（x）单调递增区间.

考点四、函数y=Asin（ωx+φ）的图象及三角函数模型的简单应用【考点解读】 该考点是高考的必考点.理解函数y=Asin（ωx+φ）中A，ω，φ的意义及其对函数图象变化的影响.能根据所给三角函数的图象和性质确定其中的参数，并能由一个三角函数的图象通过平移变换、伸缩变换、振幅变换和对称变换得到另一个三角函数的图象.利用三角函数的解析式可研究三角函数的性质和图象.会用三角函数解决一些简单实际的问题.

例4已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω>0，0<φ<π）的周期为π，图象的一个对称中心为（π14，0），将函数f（x）图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向右平移π12个单位长度后得到函数g（x）的图象.

（1）求函数f（x）与g（x）的解析式；

（2）是否存在x0∈（π16，π14），使得f（x0），g（x0），f（x0）g（x0）按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定x0的个数；若不存在，说明理由.

【思路点拨】 （1）根据题目给出的周期和对称中心求得函数f（x）的解析式，利用函数图象的平移和伸缩的变换规律逐步得到g（x）；（2）将等差数列问题转化为方程在指定区间内是否有解的问题，再构造函数，利用函数的单调性确定零点的个数.

【解析】 （1）由函数f（x）=sin（ωx+φ）的周期为π，ω>0，得ω=2，

又曲线y=f（x）的一个对称中心为（π14，0），φ∈（0，π），

故f（π14）=sin（2×π14+φ）=0，得φ=π12，所以f（x）=cos2x.

将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后可得y=cosx的图象，再将y=cosx的图象向右平移π12个单位长度后得到函数g（x）=sinx.

（2）当x∈（π16，π14）时，112

所以sinx>cos2x>sinxcos2x，

问题转化为方程2cos2x=sinx+sinxcos2x在（π16，π14）内是否有解.

设G（x）=sinx+sinxcos2x-2cos2x，x∈（π16，π14），

则G′（x）=cosx+cosxcos2x+2sin2x（2-sinx）.

因为x∈（π16，π14），所以G′（x）>0，G（x）在（π16，π14）内单调递增，

又G（π16）=-114<0，G（π14）=212>0，

且函数G（x）的图象连续不断，故可知函数G（x）在（π16，π14）内存在唯一零点x0，

即存在唯一的x0∈（π16，π14）满足题意.

【归纳总结】 探讨三角函数的性质，难点在于三角函数解析式的化简与整理，熟练掌握三角恒等变换的有关公式，灵活运用角之间的关系对角进行变换，将解析式转化为一角一函数的形式，然后通过换元法求解有关性质即可.根据y=Asin（ωx+φ）+k的图象求其解析式的问题，主要从A、k、ω及φ等四个方面来考虑.

【变式训练4】

（1）函数y=2sin（ωx+φ）在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式可能是.

（2）如图，正五边形ABCDE的边长为2，甲同学在图中用余弦定理解得AC=8-8cos108°，乙同学在Rt△ACH中解得AC=11cos72°，据此可得cos72°的值所在区间为.

考点五、两角和与差的正弦、余弦、正切公式、二倍角公式及简单的三角恒等变换【考点解读】 该考点是高考的必考点.研究不同三角函数值之间的关系时，常以角为切入点，并以此为依据进行公式的选择，同时还要关注式子的结构特征，通过对式子进行恒等变形，使问题得到简化.在进行三角运算时必知的几个技巧：“1”的代换，正切化弦，异角化同角，异次化同次，变角，变名，变结构等化简技巧.

例5已知函数f（x）=2cos（x-π112），x∈R.

（1）求f（-π16）的值；

（2）若cosθ=315，θ∈（3π12，2π），求f（2θ+π13）.

【思路点拨】 （1）直接代入，根据诱导公式和特殊角的三角函数值得出结果；（2）先求出sinθ，利用倍角公式得出sin2θ，cos2θ的值，使用三角变换公式求解.

【解析】 （1）f（-π16）=2cos（-π16-π112）

=2cos（-π14）=2cosπ14=1；

（2）f（2θ+π13）=2cos（2θ+π13-π112）

=2cos（2θ+π14）=cos2θ-sin2θ，

因为cosθ=315，θ∈（3π12，2π），所以sinθ=-415，所以sin2θ=2sinθcosθ=-24125，cos2θ=cos2θ-sin2θ=-7125，所以f（2θ+π13）=cos2θ-sin2θ=-7125-（-24125）=17125.

【归纳总结】 三角函数式的化简要遵循“三看”原则：（1）一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；（2）二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式；（3）三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向.公式的逆用，变形十分重要，常通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数.

【变式训练5】

31cos10°-11sin170°=.

【变式训练答案】

1.解析：（1）设α终边上任一点为P（k，-3k）.则r=x2+y2=k2+（-3k）2=10|k|.

当k>0时，r=10k，∴sinα=-3k110k=-3110，11cosα=10k1k=10.

∴10sinα+3×11cosα=-310+310=0.

当k<0时，r=-10k，

∴sinα=-3k1-10k=3110，11cosα=-10k1k=-10.

∴10sinα+3×11cosα=310-310=0.