数列求和方法探究

王向阳

数列求和是高中数学的重要内容之一，数列求和问题一般以数列的基本问题为先导，在解决数列基本问题后考查数列求和，在求和后往往与不等式、函数、最值等问题综合.数列求和问题涉及知识面广，综合性强，技巧性高，因此对学生的能力要求也比较高.等差、等比数列的求和可以直接利用等差、等比数列的求和公式，对于非等差、等比数列的求和，我们有哪些策略呢？下面对求和的方法进行归纳，开拓学生解题的思路，提高应变能力.

一、分组求和法

把一个数列分成几个可以直接求和的数列.

例1（2013届海南高考压轴卷理）等比数列{an}中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且其中的任何两个数不在下表的同一列.

第一列第二列第三列

第一行3210

第二行6414

第三行9818

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）若数列{bn}满足：bn=an+（-1）lnan，求数列{bn}的前2n项和S2n.

分析：本题考查的是数列求和问题.在解答时：（Ⅰ）此问首先要结合所给列表充分讨论符合要求的所有情况，根据符合的情况进一步分析公比进而求得数列{an}的通项公式；（Ⅱ）首先要利用第（Ⅰ）问的结果对数列数列{bn}的通项进行化简，然后结合通项的特点，利用分组法进行数列{bn}的前2n项和的求解.

解析：（Ⅰ）当a1=3时，不符合题意；

点评：某些数列的求和是将数列分解转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，这就要通过对数列通项结构特点进行分析研究，将数列的通项合理分解转化.本题求数列{bn}的前2n项和时，根据bn的特点分三组分别求和.

二、裂项相消法

有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，使之在求和时相互抵消，只剩有限项再求和.

例2（2013江西卷（理））正项数列{an}的前n项和{Sn}满足：S2n-（n2+n-1）Sn-（n2+n）=0.

（1）求数列{an}的通项公式an；

（2）令bn=n+1（n+2）2a2n，数列{bn}的前n项和为Tn.证明：对于任意的n∈N*，都有Tn<564.

分析：求出数列{an}的通项公式，再表示出bn，然后裂项求和.

点评：裂项相消法要注意相消后剩下的是哪些项，不要漏写或写错.

三、错位相减法

适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和.如求数列{anbn}的前n项和.其中数列{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q≠1的等比数列.

例3（2013年山东理20）设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设数列{bn}的前n项和Tn，且Tn+an+12n=λ（λ为常数），令cn=b2n，（n∈N）.求数列{cn}的前n项和Rn.

分析：利用等差数列{an}中已知项an与Sn的关系求出d和a1，从而得到数列{an}的通项，为后面的解题奠定了基础，本题涉及的三个数列an、bn与cn的关系环环紧扣，在得到数列{cn}的通项之后，根据通项的特征，利用错位相减法求解.

解析：（Ⅰ）设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，