趣味特征数

蔡荣荣

未来学家们满怀信心地预测：2020年人类将彻底战胜癌症；月球上将建成永久性的居民点……可见，2020年是充满希望的年份，不仅如此，它还是个非常有意思的彭罗斯特征数。

什么是彭罗斯特征数？

如果一个数的首位数字表示这个数中零的个数，第二、三、四位数字分别表示这个数中1的个数、2的个数与3的个数，这个数就叫特征数。

由于它是由20世纪赫赫有名的数学家、英国皇家协会会员、牛津大学教授罗迦·彭罗斯提出来的，所以也叫彭罗斯特征数。

比如，1210就是一个特征数。首位数字1表示它有1个0，第二位数2表示它有2个1，第三位数1表示有1个2，第四位数0表示有0个3。

很显然，2020的首个数字2表示它有2个0，而第二、三、四位数分别表示了这个数中1的个数为0、2的个数为2，3的个数为0，所以它也是一个特征数。

有趣的是，彭罗斯在提出这种特征数时，又连珠炮似的向人们提出了一系列与特征数有关的问题：这种特征数中最小的数是多少，最大的又是多少？各个位数的特征数是不是都存在，比如特征数是不是有六位数的？所有这种特征数的和是多少？

提完问题后，他在一张纸上写出了最后一题的答案，并将这张纸条放在一个锦囊中，吩咐别人暂时把它封存，然后，不作任何提示，飘然而去。

彭罗斯的问题引起了数学家和数学爱好者的深厚兴趣。经过多年的研究探索，人们发现一位、二位、三位和六位数的彭罗斯特征数不存在，四位数彭罗斯特征数只有1210和2020，因此1210是最小的特征数。

由于9是最大的一位数，因此，我们不难发现彭罗斯特征数家庭中最年长的成员应该是9210000001000这个十三位数。依此类推，可以得到其他位数的彭罗斯特征数，一共有这几个数：

十三位数是9210000001000，十二位数是821000001000，十一位数是72100001000，十位数是6210001000，九位数是521001000，八位数是42101000，七位数是3211000，5位数是21200，4位数有2020和1210。

人们将找到的全部彭罗斯特征数统统加起来，得到和为10109876341430。

他们迫不急待地打开彭罗斯的那只锦囊，发现答案与得到的结果毫厘不差，真所谓英雄所见略同，感慨之余，对彭罗斯也充满了深深的钦佩和敬意。