一类概率中考题引发的思考

石建彬

2010年和2011年佛山市的中考题中有同一类问题引起了我的注意。

（2010年）研究“掷一个图钉，钉尖朝上”的概率，两个小组用同一个图钉做实验进行比较，他们的统计数据如下，请你估计第一小组和第二小组所得的概率分别是多少？

（2011年）在1-9中随机选取3个整数，若以这3个整数为边长构成三角形的情况如下表：请你根据表中数据，估计构成钝角三角形的概率是多少？（精确到百分位）

此类通过试验用频率估计概率的问题，学生通常会有以下一些解答方式：（以2011年试题为例）

方法一：选择试验次数最多的一次，用计算所得频率估计概率。

方法二：累积所有试验次数和所研究事件发生的次数，用计算所得频率估计概率。

∴P（构成钝角三角形）≈0.22。

方法三：计算每一次试验所研究事件发生的频率，取所有频率的平均值估计概率。

方法四：计算每一次试验所研究事件发生的频率，根据频率变化的趋势估计概率。

下面分析四种方法背后学生对于频率与概率关系不同的理解方式：

学生之所以将概率看作频率的极限，其主要原因是研究随机现象时错误地运用了研究确定性现象的数学方法，结果混淆了随机变量序列依概率收敛与函数序列收敛之间的重大区别。

根据以上分析，不难得出以下结论：无论一次试验中试验次数有多大，用一个频率值去估计概率是不准确的，正确的方法应该计算多个频率，观察随着试验次数的增加，频率的变化趋势，进而估计概率值。所以方法一、二均不准确。

同理，方法三中以多个频率的算数平均数估计概率虽然在前半部分计算了各组的频率，但是计算平均数的方法并未体现出频率的变化趋势，因而也不准确。

综上所述，方法四的解法最准确地理解了频率与概率的关系，是能够得到全分的方法。

参考文献：

刘华林.频率与概率.中国统计，1996（4）.

（作者单位 广东省佛山市顺德一中德胜学校）