线性规划折射出的数学建模思想

叶启海

中共中央国务院在《深化教育改革，全面推进素质教育》中指出：实施素质教育，就是全面贯彻党的教育方针，重点培养学生的创新精神和实践能力，中学数学教师应在培养学生的素质上狠下工夫。数学素质一般包括：数学意识、问题解决、逻辑推理和信息交流四个方面。数学建模既有“数学意识”的因素，又是“问题解决”的一部分，因此在中学实施“数学建模”的教学是增强学生应用意识和提高数学素质的重要途径之一。然而建模步骤不仅要求有相应的数学知识，还涉及许多非数学领域的知识。求解过程除了数学和物理方法外，还常用到计算机进行模拟、试算、检验等。线性规划问题研究的是线性目标函数在线性约束条件下取得最大值或最小值问题，线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用：一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下如何使用它们完成最多的任务；二是如何合理安排和规划能以最少的人力、物力、资金等资源完成该项任务。常见的线性规划应用问题有物资调运问题，产品安排问题，下料问题，以及和相关数学知识的整合问题。随着强有力的算法和计算机技术的发展与应用，线性规划应用已渗透到社会生活的各个层面，经济上能直接创造巨额财富，军事上催生重大的战略战术变革，甚至对人类文明的进程产生直接影响。下面笔者通过对一个线性规划应用的分析，谈谈自己对中学数学建模的理解和尝试。

一、相关定义

1.数学建模

数学建模就是用数学语言描述实际现象的过程。这里的实际现象既包含具体的自然现象比如自由落体现象，又含抽象的现象比如顾客对某种商品所取的价值倾向。这里的描述不但包括外在形态、内在机制的描述，而且包括预测、试验和解释实际现象等内容。建模包括模型准备、模型假设、模型求解、模型分析、模型检验、模型应用等方面。

2.数学建模过程框架

如图1：

3.线性规划的建模及其应用

线性规划是数学规划的一种，线性规划问题研究的是线性目标函数在线性约束条件下取得最大值或最小值问题，运用在工农业生产和国民经济中，解决运输调配、经济计划、生产安排、产品用料配方等一类数学规划问题。

二、线性规划问题建模举例

中学阶段涉及线性规划的问题基本都是现实问题，例如实际生产中的运输问题、计划安排、合理配料等都可以借助线性规划解决。下面我们就通过例题分析一下具体的数学建模过程。

例：家具公司制作木质的书桌和椅子，需要木工和漆工两道工序。已知木工平均4h做一把椅子，8h做一张书桌；漆工平均2h漆一把椅子，lh漆一张书桌；该公司每周木工、漆工的最多工时分别有8000个和l300个。又已知制作一把椅子和一张书桌的利润分别是l5元和20元，怎样安排生产才能获得最大利润？

本题具体过程如下：

（1）模型建立

所谓建立模型就是根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设。在假设的基础上，利用适当的数学工具刻画各变量之间的数学关系，建立相应的数学结构。（尽量用简单的数学工具）

本题是实际例子，说的是家具公司制作书桌和椅子，我们需要先把实际问题转化为数学问题。此题中我们假设每周生产x把椅子，y张书桌，总利润为z，则木工4h做一把椅子，8h做一张书桌最多工时有8000个，变为4x+8y≤8000，漆工2h漆一把椅子，1h漆一张书桌最多工时1300个，变为2x+y≤1300，同时x，y均为正数，制作一把椅子和一张书桌的利润分别是15元和20元，则总利润为z=15x+20y，由此得到以下数学模型：

4x+8y≤80002x+y≤1300x，y≥0

求目标函数（利润）z=15x+20y在约束条件下的最大值，这样就把实际问题转化为数学问题了。

要点：实际问题转换为数学问题最关键就是要从实际问题中抽象出数学本质，而不能被实际问题这个表面现象所迷惑，特别需要注意的就是要能看出不等关系及隐含条件。

（2）模型求解

所谓模型解决就是利用获取的数据资料，对模型的所有参数做出计算（估计），说白了就是解决刚才转化来的数学问题。本题我们就选择线性规划解决，具体解法如下：

①作出可行域：问题的可行性解集是由约束条件所界定的四边形区域OABC，见图，它们的边界分别为4x+8y=8000，x+y=1300，x=0和y=0，顶点坐标分别A（0，1000），B（200，900），C（650，0）。

②确定平移直线，寻找非整最优解：目标函数的等值线为一组平行线z=15x+20y，它在顶点B（200，900）取得最大值（也可用穷举法将O，A，B，C坐标代入一一求值，选择确定）z=15×200+20×900=21000，即安排生产200把椅子，900张书桌，可获得最大利润21000元。

要点：此方法称为平移交轨法，就是用直线平移求最值，属于线性规划。解题时需要先对目标函数变形，变为斜截式：y=-0.75x+z/15，此时截距b=z/15，要求z的最大就是截距取最大，本题中就是B点。解题中还有许多问题需要注意，如解答应该考虑实际意义要照顾答案的取值范围，有些还要考虑是否是整点问题等。

（3）模型分析与检验

所谓模型分析就是对所得的结果进行数学上的分析，将模型分析结果与实际情形进行比较，以此验证模型的准确性、合理性和适用性。如果模型与实际较吻合，则要对计算结果给出其实际含义，并进行解释。如果模型与实际吻合较差，则应该修改假设，再次重复建模过程。

本题回答如下：由计算结果可知安排生产200把椅子，900张书桌时可以获得最大利润2100元。

要点：模型分析与检验这一过程在实际运用中是比较重要的，因为我们测算的数据存在误差，同时可能计算方法的设计方面存在不完美的地方，从而会导致结果存在问题，所以需要我们进行检测与分析并与实际对照。本例中木工做椅子书桌与漆工漆椅子书桌所花的时间，木工、漆工的最多工时，一把椅子和一张书桌的利润这些数据均是题目提供的，我们无法考证这些数据的真伪，故无法进行检验，所以一般在中学教学中这一步就是一个回答的过程，通过回答把数学解答再返回实际，毕竟数学建模是用来解决实际问题的。

三、结语

到此为止我们的线性规划问题就解决了，通过解题过程我们给大家完整地展示了一下数学建模的过程。中学数学教学大纲指出：数学教学中发展思维能力是培养能力的核心。无论是数学研究，还是数学学习，其目的是将数学运用于社会，服务于社会，而运用数学解决实际问题是通过数学模型这座桥梁实现的。构造模型是为了解决实际问题，应用数学解决各类实际问题时，建立数学模型是十分关键的一步，同时也是十分困难的一步。这就需要深厚扎实的数学基础，敏锐的洞察力和想象力，对实际问题的浓厚兴趣和广博的知识面。数学建模是联系数学与实际问题的桥梁，是数学科学技术转化的主要途径，在科学技术发展中的重要作用越来越受到数学界和工程界的普遍重视，它已成为现代科技工作者必备的重要能力之一。然而我们对建模的探索和总结是无止境的，只有在建模实践中不断概括和总结成功经验，才能形成和丰富指导建模的理论体系。因此，加强数学应用意识和能力的培养，加强建模的学习对于学生具有特别重要的意义，值得我们探究。

参考文献：

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[4]费培之.数学模型实用教程[M].成都：四川大学出版社，1998.