高考平面几何题的一种解题策略

赵志强 顾栋明

摘 要： 在新课程标准体系下，平面几何被列入高中数学选修课程，平几题成为高考必考的题型。把具体的平面几何题目的求解放在一种策略指导下进行，不失为实践新课程标准强调的、教学理念变“知识为本”为“育人为本”的好方法.这种解题策略强调把求证结论作为目标元素、问题的主要矛盾优先考虑，把已知条件作为条件元素，用事物间联系的观点分析思考，建立两者之间的联系，最终解决问题.

关键词： 高考 平面几何题 解题策略

在新课程标准体系下，平面几何被列入高中数学选修课程，与之对应的是它成为高考内容.下面笔者举例谈谈高考平面几何题的解题策略.

这种解题策略是基于力求体现新课程标准强调的教育思想，即由“知识为本”向“育人为本”教学理念的转变.新课程标准在要求注重学生问题的分析与解决能力培养的基础上，强调问题的发现与提出能力的培养.

平面几何教学内容虽然传统古老，但对学生的逻辑思维能力的训练有着特殊的作用，其作为现代教育内容，仍然具有生命力，新课程标准将其列为选学内容.然而，不能再一味采用讲究题型、强调类别方法的传统教学方法上.为了使平面几何的教学发挥培养逻辑思维、推理能力的特殊功能，要积极探索体现“育人为本”教育思想的新教学方法，努力把新课程标准的理念渗透到具体的教学环节中.把具体的平面几何题目的求解放在一种策略指导下进行，强调对题中的已知条件元素与求证目标元素运用联系的观点分析，并把目标元素放在优先考虑的地位，不失为一种值得实践的好方法.

传统平面几何题的结构是：在已知图形下，给出若干元素具备某种条件，可称之为条件元素，再提出要论证相关元素具有某种特定的结论，可称之为目标元素.

这种策略的具体操作是，结合图形，借助其性质，对已知元素与目标元素用事物间有相互联系的观点去分析，对目标元素用解决问题抓主要矛盾的方法去优先考虑.由因探果，思维竭力将已知元素的发散向目标元素靠拢；执果索因，思维尽力汇聚到与已知元素的关联点上；把这种发散与汇聚始终置于已知图形的大背景下，既要善于拓展其隐含条件，更要始终把目标元素置于优先考虑的联系中.在这种策略下，使学生积累思想的感悟和经验，提高素质.

纵观几年来各地的高考题，在体现新课程标准下选学平面几何的意图中，全国卷、江苏卷具有一定的代表性.下面以2013年的试题为例作分析.

例1：（2013，江苏卷高考题）如图，AB和BC分别与圆O相切于点D、C，AC经过圆心O，且BC=2OC，求证：AC=2AD.

思考分析：由AB和BC分别与圆O相切于点D、C，易知∠BCA=90°，∠ADO=90°.优先考虑目标元素：AC=2AD，并企图与条件元素BC=2OC建立联系，这时就会考虑把它们放置在相应的三角形中，△ACD与△BCO或△ABC显然不妥；在目标元素引导下，会注意到AC、BC是在△ACB中，对应的自然应有△ADO.于是，因为∠ACB=∠ADO=90°，∠BAC=∠OAD，所以△ACB∽△ADO，则有=，又BC=2OC，OC=OD，得AC=2AD.

例2：（2013，全国卷高考题）如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E、F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC·AE=DC·AF，B、E、F、C四点共圆.

（1）证明：CA是△ABC外接圆的直径；

（2）若DB=BE=EA，求过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值.

思考分析：（1）优先考虑目标元素：CA是△ABC外接圆的直径，则∠ABC要为直角，联系到CD为△ABC外接圆的切线，得∠DCA应该是直角，所以只要证∠ABC=∠DBC=90°.

由已知BC·AE=DC·AF想到转化为比例式=，寻求△BDC∽△FEA，由于DC为△ABC外接圆的切线，得∠BCD=∠FAE，这样△BDC∽△FEA显然成立，就有∠DBC=∠EFA.又已知B、E、F、C四点共圆，∠EFA=∠ABC，那么∠DBC=∠EFA=∠ABC，因为∠DBC+∠ABC=180°，所以∠ABC=∠DBC=90°，结论得证.

（2）由目标元素“求两圆面积比”可知，要求此两圆的半径（或直径）的平方比.因为∠ABC=90°，所以CE是过B、E、F、C四点的圆的直径.问题就变为求CE与AC的平方比.

注意到DB=BE=EA=a，∠ABC=90°，得CB⊥DE，则CD=CE.又CD为△ABC外接圆的切线，CA为其直径，则∠ACD=90°.根据射影定理有：CD=DB·D=3a，CA=AB·AD=6a，所以，所求两圆面积比是1∶2.

通过上例，我们进一步认识到这种解题策略的核心.抓住目标元素这一解决问题的关键，努力向已知元素靠拢，建立起两者的联系；对已知元素，层层剖析、包括其隐含特性，取其为目标元素服务的东西.在过程中，不时提出假设，并及时否定不适合的、肯定有用的，最终使问题得解。

参考文献：

[1]赵志强，顾栋明.高考平面几何问题的应对策略.高中数学教与学，2013（2）.