谈中学数学中的对称之美

吴建东

摘 要： 对称是中学数学很多知识点的一个通性，从一个侧面体现数学的美感.数字及代数、多项式、简单及复杂几何形体等都展示了数学中的对称之美.本文通过对这些知识点中的对称进行阐述，发觉其中的自然与人文之美，引导广大中学生发现数学之美，逐步发展数学思维.

关键词： 中学数学 对称之美 数字多项式 几何形体

对称，物体或图形在某种变换条件（例如绕直线的旋转，对于平面的反映，等等）下，其相同部分间有规律重复的现象，亦即在一定变换条件下的不变现象.自然界是简约与对称的这种大美令人匪夷所思.山川、河流、树木等，在严格意义上来讲都是不对称的，然而，将研究对象扩大到整个地球、星系、宇宙，抑或缩小至晶体、分子、原子，世界又都是对称的.可以这么说，在与我们生活大致相同的尺度内，不对称属于自然界，而对称属于人类，是一种创造出来的人文之美.这些人文之美在初中的知识中有很多的体现.

1.数字的对称

数学本身是大自然的，然而数字是人类发明的，并且人类用自己发明的数字来发现并且解释大自然的数学.数字从自然数开始，最开始是人类用于简单计数.随着社会的发展，人们发明了负数.于是第一对数字的对称出现了：正数与负数的对称.负数并不是自然存在的，而是人们发明的一个概念.正数与负数以零点为对称点，每写出一个正数，都有一个相应的负数与之对应，其转化方法仅仅是在这个正数前面加一个负号“-”而已.

当纯数字也无法满足人们的计算要求时，代数被人类发明了出来.作为数字的延伸，数字的对称性在代数上保留了下来.无论字母a，b，c代表怎样的数，它们的正负性及关于正负的对称性总是存在的.

当函数的概念被提出来之后，对称性问题成为函数的一个重要性质.二次函数关于对称轴的左右对称，三角函数关于对称轴和对称中心的轴对称和中心对称，这些都成了解决很多问题的关键.函数是方程的延伸，方程是数字运算的延伸，函数的对称性是数字对称的一个典型例证.

例1：函数y=3sin（2x+π/6）的图像的对称轴方程为？摇？摇？摇？摇？摇？摇.

解：2x+π/6=2（x+π/12），设x+π/12=a，则方程变为y=3sin2a

方程y=3sin2a的对称轴为aπ/4+kπ/2，即x+π/12=π/4+kπ/2，解之，得对称轴为x=π/6+kπ/2，k∈Z.所以答案为x=π/6+kπ/2，k∈Z.

2.多项式对称

多项式及多项式的因式分解是中学数学的重要知识点，在众多的多项式中，有一类多项式，如果将其任意的两个字母进行互换，则所得到的多项式不变，这类多项式被称为对称多项式，简称对称式.对称式的一个重要本质就是各个字母在多项式中的地位相等，例如xyz，a+b+c等，构成了一大类问题，通过对称式的性质可以轻松巧妙地解决这些问题.

例2：已知0

分析：此例题中的字母x，y，z在多项式xyz（1-x）（1-y）（1-z）中的地位完全一样，并且取值范围完全相同，即x，y，z在此构成了对称式.不等式后面正好是1/4的三次方.通过观察，结合对称式的性质，可以将问题转化为证明x（1-x）≤1/4或者y（1-y）≤1/4或者z（1-z）≤1/4，即将问题简化为只需证明其中一个简单式子成立即可.

证明：因为00.所以（ - ）2≥0，2 ≤x+1-x=1，x（1-x）≤1/4.

同理y（1-y）≤1/4，z（1-z）≤1/4同时成立，所以xyz（1-x）（1-y）（1-z）≤（1/4）3成立.

3.几何形体的对称

几何形体的对称以其直观并且美观的样式呈现在人们的眼前，也是中学数学知识点中，展现对称性最直接、数量最大的方面.线对称、点对称，人们用自己的审美搭建了完整的几何体系.几何形体的对称性历来是中学数学的重点，线段的平分问题，角平分线的尺规作图问题都是几何学入门的基础.等边三角形、等腰梯形、矩形、正多边形、圆形、菱形，以及高中阶段要学到的圆锥曲线等，其中都有对称性的具体表现.轴对称和点对称不仅赋予了它们美观，而且使它们具有了一些特殊的性质，也正是这些特殊的性质为中学生对几何的学习增添了不少乐趣.

例3（数学奥林匹克竞赛题目）：如图所示，在△ABC中，AB>AC，BE、CF分别为△ABC的两条高线，求证：AB+CF>AC+BE.

分析：由三角形的高线可以想到利用三角形的面积和相似三角形的相关知识进行分析，这是第一种思路.

另外，观察题目可知，这里的△ABC并不是传统意义上的等腰三角形或者等边三角形，这时可以考虑自己构造一个对称的等腰三角形.AB>AC，由大边对大角定理，可得∠C>∠B.如果将∠A的平分线作出，可以轻松地作出一个等腰三角形，利用其对称性可以进行证明.

方法一：由题意，由于BE、CF为△ABC的两条高线，因此△ACF∽△ABE，由于AB>AC，因此AE>AF，因此AE >AF .（AB+CF） =AB +CF +2AB·CF，（AC+BE） =AC +BE +2AC·BE，由于三角形面积S△ABC=AB·CF=AC·BE.根据勾股定理：AB =AE +BE 且AC =CF +AF ，因此AE =AB BE >AF =AC -CF ，因此AB +CF >AC +BE ，因此（AB+CF） >（AC+BE） ，因此AB+CF>AC+BE成立.

方法二：作∠A的角平分线l，由于AB>AC，可在AB上找出点C关于l的轴对称点C′，则AC=AC′，因此AB-AC=AB-AC′=BC′.过C′作AC的垂线与AC交于F′，作BE的垂线与BE交于点D，由于△ACC′的对称性，得C′F′=CF，即DE=CF，则BE-CF=BE-DE=BD，显然BC′>BD，因此AB-AC>BE-CF，因此AB+CF>AC+BE成立.

点评：对于几何形体对称性的构造和运用使得本题目的解法变得异常简单，体现了创新精神.

中学数学中的对称代表了一类问题，熟练掌握这部分知识，对于中学生解题思路的开阔和创新将起到很大的帮助作用.

参考文献：

[1]谭炜东.初中数学对称性解题方法的探讨.解题策略，2012，3.

[2]胡承钧.代数学中对称多项式的证明.宜宾学院学报，2010，6.