基于导学案的空间向量与立体几何教学探究

吴贤集

新课程标准中，对培养目标、课程设置及课程实施评价方面提出了更为明确的要求，按照新课程要求，把课堂教学改革的目标，定位在以培养学生独立思考，自主学习的能力，具有科学精神，形成科学态度，学会科学方法，逐步形成适应学习化社会需要的终身学习能力的层次。

所谓“学案”是指用于指导学生每一课时进行学习的助学方案，它是相对于“教案”而言的。“学案”教学法是以学案为载体，以导学为方法，教师的指导为主导，学生的自主学习为主体，师生共同合作完成教学任务的一种教学模式。这种教学模式使教师的主导作用和学生的主体作用和谐统一，发挥最大效益。在这种模式中，学生根据教师设计的学案，认真阅读教材，了解教材内容，然后，根据学案要求完成相关内容，学生可提出自己的观点或见解，师生共同研究学习。

学生借助“学案”自主学习，初步掌握基础知识、概念、理清知识线索，并尝试用掌握的知识解答“学案”中的问题，进行自我能力训练或讨论交流，并在“学案”上作相关的学习记录。学生能自主完成的内容，就可以先学习掌握；剩余部分在课堂教学讨论中解决，从而提高课堂教学效率。

去年我采用导学案的教学模式，在高一（13）班学生的配合下、取得一定的效果。本学期针对学生手中的资料“导与练——听课手册”（泉州专版）中的安排：生活中的数学、瞻前顾后、要点突破、典例精析考题赏析等五步，又根据数学选修2-1第三章“空间向量与立体几何”的内容特点以及需要的数学思想方法—分类讨论与数形结合，不管有无使用导学习惯的学生，对这一章的教学模式准备完全可以采用导学案的方式。下面就这一章的内容进行分析，并结合导学案的思想，说明教学探究。

一、对内容的说明

在三维空间中，表示方向和大小的量是有三个分量的向量——三维空间向量（简称空间向量）。空间向量在理论研究和解决实际问题方面有广泛应用，它成为解决立体几何中的大量问题的有力工具。通过学习本章，可以使学生在对平面向量已有认识的基础上，进一步学习空间向量，并运用空间向量研究立体几何中的问题，进一步体会向量方法在解决几何问题中的作用。

全章共分两节，“空间向量及其运算”是本章的基础，重点在空间向量的基本概念和基本运算；“立体几何中的向量方法”从一个侧面（立体几何）反映了空间向量的应用，同时也是对空间向量的再认识。利用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”，是本章的第二个重点。

本章的难点是：建立立体图形与空间向量之间的联系，把立体几何问题转化为向量问题。主要的是利用“基底”、“坐标表示”等概念。

二、注重本章编写过程中的两个指导思想

第一，在本套教科书前面的“空间几何体”（必修2）和“平面向量”（必修4）的基础上，从数量表示和几何意义两方面，把对向量及其运算的认识从二维情形提升到三维情形。这是“由此及彼，由浅入深” 的认识发展过程。

第二，以立体几何问题为载体，体现向量的工具作用和向量方法的基本步骤和原理，再次渗透符号化、模型化、运算化和程序化的数学思想。

三、注重知识间的联系，温故而知新，运用类比的方法认识新问题

综观本章内容与前面相关内容，容易发现：

空间向量是平面向量的推广，两者除维数不同外，在几何意义、坐标表示、运算等方面都有一致性，平面向量基本定理与空间向量基本定理也有形式上基本一致的内容。

利用空间向量解决立体几何问题，是利用平面向量解决平面几何问题的发展，主要变化是维数的增加，讨论对象由二维图形变为三维图形。基本方法都是将几何问题用向量形式表示，通过向量的运算，得出相应几何结论。

鉴于上述认识，教师要注意充分利用学生已有的关于平面向量和平面几何中向量方法的知识基础和学习经验，在回顾和归纳预备知识的基础上，进行新旧内容之间的类比。本章内容的呈现方式多为从回顾平面向量的相应内容说起，叙述方式多为“与平面向量一样……”“类似于平面向量……”“对比平面向量……”，设置的问题中有许多是与平面向量有关的，全章从开篇引言到章尾小结都关注空间向量与平面向量的联系。总之，本章教材编写过程中，重视知识结构中的纵向联系，强调内容中“推广”和“发展”的成分，创造条件帮助学生实现认识上的正向迁移，从而达到温故知新的效果。

四、强调通性通法，突出一般规律，渗透基本数学思想

分析本章主要内容，会对以下认识产生深刻印象。

第一，向量是从丰富的物理背景中抽象出的数学概念，不论平面向量、空间向量，还是高维向量，都是既有大小又有方向的量。向量的表示方式与坐标密切相关，坐标表示形式可以刻画量的大小和方向，向量的维数与它所在空间的维数一致。向量的运算有其自有的法则、运算律、几何解释和表示形式。

第二，几何中的向量方法是一种常用的方法。平面几何所讨论的对象是同一平面上的点、直线等元素，它们可以与平面向量建立联系，利用平面向量可以表示平面上直线之间的平行、垂直关系以及两条直线夹角的大小，因此许多平面几何问题可以转化为平面向量问题，通过平面向量的运算得出几何结论。与此完全相似，立体几何所讨论的对象是三维空间中的点、直线、平面等元素，它们可以与空间向量建立联系，许多立体几何问题可以转化为空间向量问题，通过进行空间向量的运算得出几何结论。