问题引路，“动 ”中生智

陆业春

【摘要】近年来，动态几何问题在各地中考试卷中多有出现，有些试卷将动态几何问题当作压轴试题来考查学生，显示出动态几何问题对考查学生能力的重要性.动态几何问题体现了数学中“变”与“不变”、“一般”与“特殊”的辩证关系，现以近年来中考试题为例，进行分类说明.

【关键词】中考；动态；数学

一、质点运动型

例1 （2011年河南）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=53，∠C=30°，点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D，E运动的时间是t秒（t>0），过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF.

（1）求证：AE=DF；（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由；（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由.

解 （1）在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=2t，

∴DF=t.

又 ∵AE=t，∴AE=DF.

（2）能.理由如下：

∵AB⊥BC，DF⊥BC，∴AE∥DF.

又 AE=DF，∴四边形AEFD为平行四边形.

∵AB=BC·tan30°=53×33=5，∴AC=2AB=10.

∴AD=AC-DC=10-2t.

若使四边形AEFD为菱形，则需AE=AD.即t=10-2t，t=103.

即当t=103时，四边形AEFD为菱形.

（3）①∠EDF=90°时，四边形EBFD为矩形.

在Rt△AED中，∠ADE=∠C=30°，∴AD=2AE.

即10-2t=2t，t=52.

②∠DEF=90°时，由（2）知EF∥AD，

∴∠ADE=∠DEF=90°.

∵∠B=90°-∠A=60°，∴AD=AE·cos60°.

即10-2t=12t，t=4.

③∠EFD=90°时，此种情况不存在.

综上所述，当t=52或4时，△DEF为直角三角形.

点评 质点运动类问题主要考查单质点运动和双质点运动，本题是一道典型的双质点运动类几何问题，在解决此类问题时要搞清楚以下几点：一是质点在运动过程中抓住图形中的变量与常量；二是运用有关知识，在质点运动时，运用其中的变量t，来表示图形中的其他变量；三是抓住其中的等量关系和变量关系，建立方程、函数、不等式（组）等数学模型，达到解决问题的目的.

二、线段（直线）运动型

例2 （2011年江苏无锡）如图，已知O（0，0），A（4，0），B（4，3），动点P从O点出发，以每秒3个单位的速度，沿△OAB的边0A，AB，B0做匀速运动；动直线l从AB位置出发，以每秒1个单位的速度向x轴负方向做匀速平移运动.若它们同时出发，运动的时间为t秒，当点P运动到O时，它们都停止运动.

（1）当P在线段OA上运动时，求直线l与以P为圆心、1为半径的圆相交时t的取值范围；

（2）当P在线段AB上运动时，设直线l分别与OA，OB交于C，D，试问：四边形CPBD是否可能为菱形？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由，并说明如何改变直线l的出发时间，使得四边形CPBD会是菱形.

解 （1）设经过t秒，P点坐标为（3t，0），直线l从AB位置向x轴负方向做匀速平移运动时与x轴交点为F（4-t，0）.

∵圆的半径为1，∴要直线l与圆相交即要PF<1.

∴当F在P右侧，PF的距离为4-t-3t<1t>34.

当F在P左侧，PF的距离为3t-4-t<1t<54.

∴当P在线段OA上运动时，直线l与以P为圆心、1为半径的圆相交时t的取值范围为34 （2） 当P在线段AB上运动时，设直线l分别与OA，OB交于C，D，四边形CPBD不可能为菱形.

依题意，得：AC=t，OC=4-t，PA=3t-4，PB=7-3t.

∵CD∥AB，∴CDAB=OCOA，

即CD3=4-t4，解得：CD=34（4-t）.

由菱形的性质，得：CD=PB.

即34（4-t）=7-3t，解得：t=169.

又PC=PB=7-3t，将t=169代入PA2+AC2=（3t-4）2+t2=40081，PC2=（7-3t）2=259，∴PA2+AC2≠PC2，∴不能构成菱形.