中考中现实类试题几例浅析

丁晓梅

在新课程标准中，对数学的学以致用的现实意义要求越来越重要，与现实生活有关的考题也出现得越来越普遍，由于任何客观对象都有其空间形式和数量关系，因而从理论上说以空间形式和数量关系为研究对象的数学可以应用于客观世界的很多领域.

应用数学解决生活中的问题，不但首先要提出问题，并用明确的语言加以表述，而且要建立数学模型，还要对数学模型进行数学推导和论证，对数学结果进行检验和评价.也就是说，数学之应用，它不仅表现为一种工具，一种语言，而且是一种方法，是一种思维模式.根据数学应用的广泛性特点，要解决现实生活中的数学问题，就要建立和操作数学模型，以及进行检验和评价.

下面我们就以几例来观察、实践操作、感受一下选取适当的数学模型即可实现轻松解题：

一、建立数学模型将问题转化成直角三角形，运用勾股定理解决

这类试题往往基于二维平面或三维空间的实际生活中与物体的高低、长短、远近有关的计算类题目，用数形结合方法，通过添加垂线段得到直角三角形，运用勾股定理进行计算.

例1 某学校体育场看台的侧面如图阴影部分所示，看台有四级高度相等的小台阶.已知看台高为1.6米，现要做一个不锈钢的扶手AB及两根与FG垂直且长为1米的不锈钢架杆AD和BC（杆子的底端分别为D，C），且∠DAB=66.5°.

（1）求点D与点C的高度差DH；

（2）求所用不锈钢材料的总长度l（即AD+AB+BC，结果精确到0.1米）.（参考数据：sin66.5°≈0.92，cos66.5°≈0.40，tan66.5°≈2.30）

分析 （1）易见D点与C点的高度差为三级台阶的高度.

（2）关键：分别求出三条线段AD，AB，BC的长度.而AD=BC=1米，故只需求出线段AB的长度.如图，过点C画水平线交AD的延长线于点H，过B作BM⊥AH于M，可得矩形BCHM和直角△ABM.由题意易见AD=BC=MH=1米，每级台阶的高度0.4米，AM=AH-MH=2.2-1=1.2（米）（或者AM=AH-MH=AH-1=AH-AD=DH=1.2米），在直角△ABM中，已知一边和一角，则只需选择适当的锐角三角函数即可求出AB的长度.

解 （1）DH=1.6×34=1.2（米）.

（2）过B作BM⊥AH于M，则四边形BCHM是矩形，MH=BC=1.∴AM=AH-MH=1+1.2-1=1.2. 在Rt△AMB中，∵∠A=66.5°，∴AB=AMcos66.5°≈1.20.40=3.0（米）.∴s=AD+AB+BC≈1+3.0+1=5.0（米）.

答：（1）点D与点C的高度差DH为1.2米.

（2）所用不锈钢材料的总长度约为5.0米.

说明：（1）这里所给的三个锐角三角函数不一定全用上，只要选用你所需要的即可.

（2）在与实际问题有关的计算题中，很多时候都要按要求取近似数.

二、列出分段函数解决分类讨论问题

这类题如水费、电费、电话费、手机费、出租车费、旅游费、税收、生产中供需关系等.

解题关键：（1）注意分界点；（2）注意所给的变量的值分别对应哪个变量，分别对应哪个函数表达式中的哪个变量.

例2 某市为了鼓励居民节约用水，采用分段计费方法按月计算每户家庭的水费，月用水量不超过20 m3时，按2元/m3计费；月用水量超过20 m3时， 其中的20 m3仍按2元/m3收费，超过部分按2.6元/m3计费.设每户家庭月用水量为x m3时，应交水费y元.

（1）分别求出0≤x≤20和x>20时y与x的函数表达式；

（2）小明家第二季度交纳水费的情况如下：